5038598789

Przeciwna Inkluzja jest oczywista, co kończy dowód pierwszej części.

Punkt 2. wynika z dziedziczności aksjomatu T\ na podprzestrżenie (punkty w kⁿ są domknięte).

Zauważmy teraz, że wystarczy udowodnić punkt 3- dla kⁿ. Istotnie, niech {Fj},^ będzie zstępującym ciągiem domkniętych podzbiorów U Wówczas { !■',)jest zstępującym ciągiem domkniętych podzbiorów w A;". Załóżmy, że 7^ = 7*+7 = ____Wówczas /•", — fi U oraz /•'* - /*\ + i = ..., co kończy dowód tego wynikania. Niech więc 5, będzie ciągiem zstępujących domkniętych podzbiorów' kⁿ. Wówczas /(Si) C /(Sj) C . C k[xj,..    Pierścień k[xi,. . ,x_T1] jest

uoetherowski. czyli Istnieje k (ż N takie, że /($*) I(Sk+i) .....Je<inak

V^r(/(.Sfc)) = 5*., czyli ciąg S, stabilizuje się począwszy od A^--tego miejsca. Przechodzimy do dowodu punktu 4. Załóżmy, że ,4 = Bi U Bj dla pewnych domkniętych podzbiorów B\,B₂ w /I. Wówczas A = (Mn/?i)u(^4n/32) i zbiory A ^ B\, A C\ B₂ są domknięte w A. Z nierozkładalnośei A otrzymujemy A n Bi = .4 lub .4 n B₂ .4. Bez straty ogóluuści, przyjmijmy A n B\ A. a więc -4c fli, co daje ~A C B\, czyli A jest nierozkładalny.    □

Możemy teraz udowodnić twierdzenie o rozkładzie zbioru afinicznego na nie-rozkladalne składowe.

Twierdzenie 20. Każdy zbiór afimczny IV jest skończoną sumą mcrozkładal-nych składowych IV = IV| U ... UIV*. Dodatkowo, jeśli założymy, że

Wi z U ^w>-

to ten rozkład jest jednoznaczny z dokładnością do kolejności czynników.

Dowód. Jeśli zbiór W jest nierozkładalny. to kończymy. Jeśli jest rozkładalny, to IV — W_x UH 2 dla pewnych domkniętych, właściwych podzbiorów W. Jeżeli oba są nierozkładalne, to otrzymujemy żądane przedstawienie. W przeciwnym razie kontynuujemy procedurę. Musi się ona zakończyć w skończenie wielu krokach, gdyż inaczej ot rzymalibyśmy nieskończony ciąg domkniętych podzbiorów IV, co przeczyłoby punktowi 3. ostatniego stwierdzenia.

Przechodząc do dowodu jednoznaczności zauważmy, że założenie

jest równoważne założeniu IV, % IV_; dla t / j. Oczywiście, jeśli zachodzi pierwszy wamnek, to zachodzi drugi warunek. Przyjmijmy, że zachodzi drugi warunek a jednocześnie

Wc\JW_S.

w_t = \J(Wjnw_t).

j*i