img035

n ^R<**^r.> • °

a-l

co kończy dowód twierdzenia Cantora.    co

Z założeń twierdzenia 3.1 wynika, że zbiór    zawiera

a-l-    _ .

dokładnie jeden punkt s będący granicę ciągu órod^ów kul K(5,rjj, K(s.r~),... . Rzeczywiście, przypuśćmy, że {s,ptc(^ K(s,r ) i s ^ p;

~    - *    mml    ^m

zatem d{a,p) - d>0. Ponieważ ^8 ,p} C K(s ,r_w) dla    więc

0<d « d(s,p) ^ d(s ,8) ♦ d(”_fp)42r_lił

co jest niemożliwe, bo 1±« r_ - 0.

Zaznaczmy również, że jeśli GZ.d) - E^, to twierdzenie 3.1 pozostaje prawdziwe nawet wówczas, gdy założenie 2 nie jest spełnione. Innymi słowy, w przestrzeni zupełnej E^ każdy ciąg odcinków obustronnie domkniętych, z których każdy jest zawarty w bezpośrednio poprzedzającym me nie-puste przecięcie, chociaż ich długości nie muszę zmierzać do zera (zobacz ćwiczenia). Uwaga ta nasuws pytanie: czy w twierdzeniu Cantora można po-minęć założenie 2? Pokażemy, że w ogólnym przypadku Jest to niemożliwe.

Przykład

Niech Z będzie zbiorem złożonym tylko z cięgu liczb ^ai'^a2'*** , które eę między sobę różne (a, ł dla i $ j) i niech d(a_n,a_a) * a 1 ♦ [ minCn.m)]”¹, Jeśli n f a oraz d(e_n,a_n) • 0. Łatwo sprawdzić, że (2,d) Jest w tym przypadku przestrzenią metryczną. Co więcej, Jest ona zupełna, ponieważ zbiór Z nie zawiera w ogóle cięgów fundamentalnych (dlaczego?). W tek skonetruowanej przestrzeni (Z,d) kula K(e,1* ^*) zawiera wyłącznie punkty    • • •» ^or*² K(Sj,l+ |)DK(«₂,l+ ^5 ^

z>K(a₃.l ♦ §) => .... ale H_±    * 0*

Twierdzenie 3.2. Deśli (2^,-dj) i (Zg,d₂) aę przeatrzeniemi zupełnymi, to zbiór Z » Z^ x Z₂ wraz z funkcję

d[(M). (śf.Y)J -|[<l_ł(ł.?)]² ♦ [d₂(M)]²}^?    (3.1)

gdzie x£Z^, y e Zg (i»l,2) Jest przestrzenię zupałnę.

Dowód. Uzasadnienie faktu, że (Z,d) jest przestrzenię metryczną pomijamy (zob. ćwiczenia).

Załóżmy, że ciąg (ł,$), (?,y), ... punktów zbioru Z Jest fundamentalny, t2n. dla każdego £>0 istnieje liczba naturalna n ■ n(£) taka, że

<i[c*.y)    e «•    ^k>" ¹ 1>n    (³-²⁾