img034

Wykład 3

Dalsze twierdzenia o przestrzeniach zupełnych

Twierdzenia 3.1 (Cantore**). W przestrzeni zupełnej (Z_#d) każdy zstę-pujęcy cięg kul domkniętych K(ł#r^), *(9,r₂),... . tzn. taki, że

1° KCł.rj) DK(I_#r₂) D ... z>K(*.r_n) Z> ... .

2° lim r„ » 0 w sensie metryki przestrzeni E-m —»oc m    ao    i

ma przecięcie niepuste, tzn,    K(s,r_B) *

m»l

Dowód. Pokażemy, że cięg    jest cięgiem fundamentalnym.

Istotnie, na mocy założenia 2°, dla każdego e>0 istnieje liczba naturalna n«n{e) taka, że dla każdej liczby naturalnej l>n spełniona Jest nierówność r^C £ , Natomiast z założenia 1° wnioskujemy, że

k _ k    - 1

»«K(#.r_k)CK(B,r₁) dla k^l>n.

Zatem punkty lis sę elementami kuli K(s,r^), czyli d(e,s) ś, r^ dla k > 1 > n.

Cięg I,i,.., jest więc cięglem fundamentalnym w przestrzeni zupełnej (Z,d), a więc Jeat on zbieżny do pewnego elementu s »    " ^{c z}*

Ponieważ dla każdego m punkty s, "I¹,... należę do kuli K(a,r_m) i zbiór K(s,r_n) Jeat domknięty, więc s€.K(S,r_>|) dla m ■ i,2,... co oznacza, że

Georf Contor (13 111 18^5 - 6 1 1918} - wybitny matematyk niemiecki, który początkowo zajmował się szeregami Fouriera i teorią liczb niewymiernych, ale później poświęcił się bez reszty teorii mnogości, gdzie uzyskał wiele znakomitych i interesujących rezultatów. Contor stworzył podstawy teorii zbiorów oraz znacznie Ją rozwinął. Warto zaznaczyć, że idee Cantora spotkały się początkowo z niezrozumieniem i były ostro krytykowane, Dopiero w kilkanaście lat po ich ogłoszeniu zdobyły sobie dużo uznanie i wywarły olbrzymi wpływ na dalszy rozwój matematyki.