chądzyński7

4 1. WSTĘP

Rozwiązanie. Połóżmy Sk'■= Zq-\-z* -f-----Niech £ będzie pier

wiastkiem pierwotnym stopnia n, wtedy e°. e¹,..., s^71-1 są różnymi pierwiastkami stopnia n z 1. Możemy przyjąć z₀ = s°, zi — e¹,..z_n-1 = e^n_1. Ponieważ każdą liczbę całkowitą można przedstawić w postaci k — ln + r, gdzie / eZ i 0 < r < n oraz = z⁷ dla j — O,..., n — 1, zatem możemy ograniczyć się do przypadku, gdy k = r. Wówczas

(1) S_r - (£°y + (e¹)' + ■ -. +    = (O⁰ + (O¹ + • ■ ■ + (eT^-1

Rozważmy dwa przypadki: r — 0 i 0<r<n—1. W pierwszym przypadku e^r = 1 i z (1) mamy S_r = n. W drugim przypadku z określenia pierwiastka pierwotnego stopnia n mamy £^r ^ 1. Stąd, z (1) i ze wzoru na sumę skończonego ciągu geometrycznego dostajemy

,    1 - (jT

^v_ i-~

1 - (eⁿ)^r 1 - £^r

= o,

bo - 1.

□

To kończy rozwiązanie.

1.2. Sfera Riemanna

Zadanie 1. Niech S C R³ będzie sferą Riemanna i N = (0,0,1) E S. Pokazać, że obrazem sferycznym punktu z E C jest punkt

w

Re z

Im z

1 + U²’l+ z²’l + z

ES\{N}.

Odwrotnie, rzutem stereograficznym punktu (£, ff, C) £    \ {/V} jest

punkt

(**)    f/(i-C)+*V(i -Oec.

Rozwiązanie. Z definicji

5 = {(ę^,()£i³:ę² + ,P(^J = c}.

Obrazem sferycznym punktu £ € C jest pimkt przecięcia sfery S¹ z prostą

(1)    R 3 t ((Re(Im z)t, 1 — t) E M³,

różny od punktu N. Punktowi temu odpowiada t₀ — 1/(1 + \^z\²)> Wstawiając to do (1), dostajemy (*).

Odwrotnie, rzutem stercograficznym punktu (£, ip £) o S \ {iV} jest punkt przecięcia płaszczyzny £ = 0 z prostą

(2)    K 3 11—+    7}tj 1 + (£ — 1)£) £

Punktowi temu odpowiada to = 1/(1 — C)- Wstawiając ta do (2), dostajemy (**).

To kończy rozwiązanie.    □

1.3. Topologia płaszczyzny domkniętej

Zadanie 1. Pokazać, że odległość sferyczna między punktami z_l7 z₂ £ C wyraża się wzorem

(*)

d(z₁,z₂) =

\/l + \zi |² -y/l + \Z2 |² a między punktami z £ C i oc - wzorem

(**)    d(z, oo) = —-==.

yY+TF

Rozwiązanie. Wykazanie (*) poprzedzimy przytoczeniem łatwych do sprawdzenia tożsamości. Połóżmy

(1)    x* = Rez*:, y_k = Im z_k dla k = 1,2,

wówczas

oraz

N‘²

1 + |+t|²

(3)    |zi - z₂|² = |zi|² + |z₂|² - 2xiX₂ - 2yiy₂.

Powróćmy do wykazania (*). Współrzędne obrazu sferycznego punktu z G C wyrażają się wzorami

/ Re z Im z |z|² \1 + |zj²’ 1 4- |zj²’ 1 + |z|²

Z (1), (4) i z określenia metryki sferycznej dostajemy Ti    x₂

(5) d²(z_ł? z₂) —

yi

1 +

+

1 + |+Lp 1+1^21²

+

l*l|^S

1 + 1 Zi\² 1 + \Z2p