5469091766

Jeżeli funkcja / ma pochodną w punkcie g(z) i g ma pochodną w punkcie z, to

Twierdzenie 2.2 (warunek konieczny istnienia pochodnej)

Jeżeli funkcja f(z) = u(x,y)+iv(x,y) ma w punkcie z₀ = x₀ + iy₀ pochodną f'(zo), to istnieją w punkcie (Xo,yo) pochodne cząstkowe    §^, % * spełniają w punkcie (xo, 2/o) warunki:

P_x(xo,yo) = ^(*0.16), P_y(*°,yo) = -£(*>.»>).

zwane warunkami Cauchy’ego-Riemanna.

Dowód. Zakładamy, że istnieje

lim

Az->0

f(z₀ + Az) - f(zp) Az

Niech Az = Ax + iAy

(1) Ay = 0 => Az — Ax

f,( V _ JJ    u(xo + Ax, y₀) +    + Ax, y₀) - u(x₀, y₀) - it;(a;₀, t/o)

^{J [}'^Zo) Ai“o    Aa;

_ _lim [u(x₀ + Ax,y₀) - u(x₀,y₀) _| ^(arp + Aa;, y₀) - v(x₀, y₀) Ai—[    Aa;    Aa;

du .    .    .dv,    .

(2) Aa; = 0 => Az = iAy

f’(z ) = lim ^y° ⁺ Ay) ^{+    +}    ~    ~ ^iv(^xQ’ Vo)

⁰ Ay-*o    iAy

_ _lim \u(x₀,y₀ +Ay)-u(x₀,y₀) _| v(x₀,yo + Ay) - v{x_Q,y₀)' Ay-*o [    iAy    Ay

.du.    dv .

= -t—(x₀, yo) + q^{x₀, y₀).

Zatem

du. . .du, , .du. s dv.    .

») +    ») + fyfo- !*>)■