27892

Jeżeli funkcja / ma |»ochodne cząstkowe drugiego rz^du w każdym punkcie zbkiru ot wartko D C R*. to funkcje

O² f    fPf    d²f    0²f

-—r(x.y). _{n n    n}    -r-r(-^r-y)- R<lzio (x.y) € D. nazywamy pochodnymi cząstkowymi <lrugiego rzędu

dr²    OyOx    OxOy    0y^ł

(Pf (Pf 0²f (Pf

funkcji / na zbiorze D i oznaczamy odpowiednio symbolami    . 7-^7 lub f_Tr. f_QT. /«,, /_wu.

ax² oyos OxOy 0y^Ł

TWIERDZENIE Jeżeli pochodne cząstkowe drugiego rzędu (xo. J/o) i (^J0- ito) są ciągłe w punkcie (xo. yo). to są w tym punkcie równe.

&J ,    ,    ,

0y0x

Oxdy

(xo.yo) = Tnrl^o.yo)

Ekstrema funkcji dwócii zmiennych

DEFINICJA Funkcja / ma w punkcie (xo,yo) minimum lokalne, jeżeli istnieje otoczenie tego punktu takie, że dla dowolnego (x, y) z tego otoczenia zacłiodzi nierówność f(x,y) ^ /(xo. yo)-

Funkcja / ma w punkcie (xo,yo) minimum lokalne właściwe, jeżeli istnieje sąsie<lztwo tego punktu takie, że dla dowolnego (x,y) z tego sąsiedztwa zacłiodzi nierówność f(x,y) > /(xo, yo)-

Funkcja / ma w punkcie (xo.|to) maksimum lokalne, jeżeli istnieje otoczenie tego punktu takie, że dla dowolnego (x, y) z tego otoczenia zacłiodzi nierówność /(x, y) ^ /(xo.yo)-

Funkcja / ma w punkcie (xo.yo) maksimum lokalne właściwe, jeżeli istnieje sąsiedztwo tego punktu takie, że dla dowolnego (x,y) z tego sąsic<lztwa zacłiodzi /(x, y) < /(xo,yo).

Warunek konieczny istnienia ekstremum

TWIERDZENIE Jeżeli funkcja / ma ekstremum kikalnc w punkcie (xo. yo) oraz istnieją pocłiodne cząstkowe ^(*o.yo) i ^(-ro.yo). to |j(x₀,yo) = 0 oraz ^(x<,.yo) =0.

Uwaga. Implikacja odwrotna nie jest prawdziwa.

Funkcja może mieć ekstrema tylko w' punktach, w których jej wszystkie pochodne cząstkowe są równe 0 albo w punktacji, w których przynajmniej jedna z tych jx>cliodnych cząstkowych nie istnieje.

Warunek wystarczający istnienia ekstremum

TWIERDZENIE Niccli funkcja / ma ciągłe pochodne cząstkowe rzędu <lrugiego na otoczeniu punktu (xo,yo) oraz niech

!• ^(*o.yo) = 0 oraz ^(x₀.yo) = 0.

^(^o.yo) sś^fc^oiyo)

S^Oro.yo) ^(•^r0.|to)

Wtedy funkcja / ma w punkcie (xo,yo) ekstremum kikalne właściwe i jest to minimum, jeżeli jjj£(xo.yo) > 0 albo maksimum, jeżeli jjp(xo,yo) < 0.

2. det

>0.

Jeżeli wyznacznik występujący w’ założeniu powyższego twierdzenia jest ujemny, to funkcja / nie ma w punkcie (xo. yo) ekstremum lokalnego.

W przypadku, gdy wyznacznik ten jest równy 0. to badanie, czy funkcja / ma ekstremum lokalne w punkcie (xo,yo) przeprowadzamy innymi metodami.

2