84234 str043 (5)

§ 5. POCHODNA FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ 43

Wektor natężenia K pola elektrostatycznego o potencjale zespolonym F(z) wyraża się następującym wzorem:

K = K_x + iK_y = -iF'.

Pochodna funkcji F(z) wynosi

2 pi

F'(z)=—T-

Z

Zatem

2 p

K(z) = 4>

z

gdzie z = x+/y.

Składowe K_x i K_y wektora natężenia pola wynoszą

2 P(x¹-y¹)    4 pxy

^Kx= (x¹+y¹)¹ ’ ^{Ky =} (x¹+y¹)¹'

Jeżeli skorzystamy z postaci wykładniczej liczby zespolonej z = re“'^,) to otrzymamy wektor natężenia pola K w zależności od współrzędnych biegunowych r i ę

2 p

K = ~y cos 2<p r

oraz

K _r =

2pcos 2<p

2 >

2p sin 2ę>

Zadania do rozwiązania

1.    Zbadać, czy funkcja /(z) jest holomorficzna:

a) /(z) = |z|,    b)/(z) = zlmz, c)/(z) = -^.

Z

a) u = x — 3 xy , x

^    2~i 2 »

x*+yⁱ

e) u = 2e^x sin y, g) v = 2xy + 3x,

i) v = e^x(ycosy + xsiny) + x4-y,

b) u — x —y + 2x,

d) » = ₂*

x +y

f) u = —

2 , ..2 ’

(x + l) +y

y

h) « = arc tg -, x > 0, x

j) --S*/(2) = 0.

x +y

1

   Znaleźć funkcję holomorficzną /(z) = w+iv, wiedząc, że: