DSC07296

14

Liczby zespolone

c) \iecfa s =*+15- gdzie r.jć i będzie dowolną liczbą zespoloną. Wówczas

= 2 Re (Ł) <=» (r •+- tyj³ = 2Re[t(x + iy)|

«=» i³ -y³ + i2ry =2Re [—+ «i|

<=> z³ -y³-f-i2xy = -2y

równość Jesz równoważna okładowi równań

(V-y* = -2y,

I 2xj, = a Ckłać ten Jesi Uejno równoważny okładom równań

= 0, za = 2i (zobacz rysunek).

p-_?^%=a fr-^o _i:f^

I x = Ohxb f = 0    ^ x = 0    = 0

Pcsnkś*mp zbiór składa sę zatem z dwóch punktów ri

*

■ r" " o    *

d) BSedk; =x+ąt gdzie z.g € Ł będzie dowolną liczbą zespoloną. Wówczas z* = (z + iy)^ł = i¹ + Ś3*³y — 3xy³ — iff’ = z* — 3zy³ + i (3zTy — y³) .

Be (r¹} ^ ba (s³) «=*■ z³ -Szy³ J 3Z³y - y³ <=» X³ + y³ — łry³ — 3z^ły $ 0 <=> (x + f)(*^S-xy + y^ł) - 3xy{x + y) 5 o «=* (x -r y) (z³ — -łzy + y³) J 0 <=> (x + y; [(y - Z*)² - Sr³] 30 «=* (y +■*) [y- (2+ 73)2] [y - (2 - 73)x] ^ 0.

fkntniz nierówność Jest równoważna alternatywie warunków:

j-rz^O craz y — (2 + 73) zJO oraz y — (2 — 73) z $: 0

lob

i - z *0 ona y - (2 + 73) x ( 0 oraz y-(2-73)x<0 lob

y + x < O oraz y — (2 + >/3j i ^ 0 oraz y — (2-v/3)x$0 łub'

y + x < 0 oraz y — (2 + i/3) x $ 0 oraz y — (2 — >/5) z 5 0. Rozwiązanie tej nierówności przedstawiono na rysunku.

Uwaga. W dalszej części książki przedstawimy krótszy sposób rozwiązywania zadań tego typu (patrz Przykład 1.13).

• Przykład 1.5

Naszkicować zbiór wszystkich liczb zespolonych z, dla których liczba w — jest:

a) rzeczywista; b) czysto urojona.

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że z = — i. Niech z = x + iy, gdzie x,y 6 5- Przedstawiamy liczbę tu w postaci

- g + «ir    _ (x-ł-iy)(x-i(g-i-l)) _ 3? + g(g +1)    -x

^W x + i(y + I)    x^ł+(y+l)¹ x² + (g + 1)¹    x³ + (y+I)*"

a) Liczba w jest rzeczywista wtedy i tylko wtedy, gdy Im tu = 0. Warunek ten oznacza, że

Im ut =    —•}——rry = 0,

s^ + Of+lj*

tzn. x = 0. Szukany zbiór jest osią urojoną bez punktu —i (rysunek).

Im x
—ii	Re

b) Liczba w jest czysto urojona wtedy i tylko wtedy, gdy ut ^ 0 oraz Re uf z jt 0 oraz

= 0. Stąd

Re ut =

x¹+g¹ + y X³ + (y + 1)^J

= 0.