0498

499

§ 4. Długość krzywej płaskiej

Teraz, gdy wiemy, że funkcja u=co(t) rośnie wraz z /, jest już jasne, że uporządkowanie punktów odpowiadające wzrastaniu parametru t jest identyczne z uporządkowaniem ich odpowiadającym wzrastaniu parametru u.

Określony wyżej zwrot na krzywej, który można by nazwać zwrotem na krzywej od punktu A do punktu B, jest zatem pojęciem w pełni geometrycznym.

Analogicznie, zamieniając na przykład / na — /'i porządkując punkty według wzrastania parametru /', można wprowadzić zwrot na krzywej od punktu B do punktu A. Można też oczywiście otrzymać ten zwrot porządkując punkty według malenia parametru /. Zwrot ten, rzecz jasna, również nie zależy od wyboru przedstawienia krzywej.

Zajmijmy się teraz zagadnieniem zwrotu na krzywej zamkniętej. Wybierzmy na niej dwa dowolne punkty C i D różne od A i oznaczmy odpowiadające im wartości parametru / przez t_t i t₂. Niech przy tym będzie /₂>/₁, tak że przy tym uporządkowaniu, które było wyżej ustalone za pomocą parametru /, punkt D następuje po C. Można pokazać, że każdy zwrot na krzywej określony za pomocą dowolnego przedstawienia parametrycznego pokrywa się z powyższym zwrotem, jeżeli zachowuje kolejność punktów C i D. Istotnie, niech wartościom t—t* i t—T* takim, że t₀<t*<t₁ i t₂<T*<T, odpowiadają punkty A* i B*. Dla niezamkniętego łuku A*B* podane twierdzenie wynika z poprzedniego, ponieważ zaś t* i T* mogą być dowolnie bliskie t₀ i T, jest ono prawdziwe dla całej krzywej.

Można tym samym mówić o zwrocie od A przez C i D do A, jako niezależnym od wyboru przedstawienia parametrycznego krzywej. Analogicznie wprowadzić można zwrot od A przez Di C do A.

247. Długość krzywej. Addytywność długości łuku. Rozpatrzymy najpierw krzywą '-'AB przedstawioną równaniami (1) ze zwrotem określonym na niej wzrastaniem parametru /. Obierzmy na tej krzywej pewną liczbę punktów

(2)    A — M_0> M_lf M_z, ..., M_t, M_l+i, M_n--=B

w ten sposób, aby kolejność tych punktów była zgodna ze zwrotem na krzywej, to znaczy obierzemy skończony ciąg punktów odpowiadających rosnącym wartościom parametru

(3)    /₀</l</₂. ..</;</,+ !<• ..</,.

Łącząc te punkty kolejno odcinkami prostoliniowymi (rys. 149) otrzymamy łamaną M₀M_X ...

M_n_ i M„ wpisaną w krzywą AB. Zauważmy, że w poprzednim ustępie stwierdziliśmy niezależność pojęcia zwrotu na krzywej — a tym samym pojęcia łamanej wpisanej — od wyboru przedstawienia parametrycznego (1).

Długością krzywej AB nazywa się kres górny S zbioru długości p wszystkich łamanych wpisanych w krzywą:

S=sup {p}.