0500

501

§ 4. Długość krzywej płaskiej

Zbiór {p} jest więc ograniczony z góry, bo S' i S" są skończone i krzywa AB jest prostowal-na, przy tym jej długość

S=sup{p}<S' + S".

Zestawiając tę nierówność z nierównością (6) otrzymujemy ostatecznie dowodzoną równość (4).

Wprowadzona wyżej długość luku krzywej ma zatem własność addytywności (patrz ustęp 21, 3)).

Udowodnione twierdzenie łatwo rozciąga się na przypadek dowolnej liczby składowych łuków, na które dzielimy krzywą.

248. Warunki dostateczne prostowalności. Różniczka Inku. Rozpatrywaliśmy dotychczas ogólny przypadek ciągłej krzywej zwykłej (1). Chcąc podać dogodne warunki dostateczne prostowalności (*) i zbadać dalsze własności długości łuku wrócimy do zwykłego w tym rozdziale założenia, że istnieją ciągłe pochodne ę\t) i    Wykażemy, że przy tych

założeniach krzywa (1) jest prostowalna.

Rozpatrzmy łamaną o wierzchołkach (2) określonych wartościami parametru (3). Współrzędnymi punktu M_t są

x₍= ©(/,),    yi = v(ti) (i =0,1,2.....n).

Teraz długość p łamanej można napisać w postaci

»-l __

P = Z v(x_f+1 —Xi)²+(y_i+1 —y,)².

J« O

Ze wzoru na przyrosty skończone [112] otrzymujemy *1+1 -x,= ę>(t_l+1)- <p(t,)= v>'(T_t) (t_i+1-1,),

yi+i-yi=¥(ti+i)-¥(u)=¥'(**) (u+i-u) tak że ostatecznie

(7)    P= Z V[9»'(T₍)]² + [v''(Tf)]²(t|₊i-t_ł).

i = 0

Jeżeli oznaczymy przez L i L* największe wartości odpowiednio funkcji \<p'(t)\ i \y/'(t)\ w przedziale <f₀, T}, to z (7) nietrudno jest otrzymać oszacowanie

(8)    p^>f L²+L*²(T—t₀).

Zbiór {p} jest zatem ograniczony z góry, a to znaczy, że krzywa ma skończoną długość S, a więc jest prostowalna. Tego właśnie mieliśmy dowieść.

(‘) Najogólniejsze warunki prostowalności — konieczne i dostateczne — znajdzie czytelnik w trzecim tomie.