1935182614

Dowod. Niech D CR jest podzbiorem ograniczonym z góry. Rozpatrzmy następujący podział i4,Bcl zbioru liczb rzeczywistych:

x & A = (3a € D) x < a, oraz B — R \ A.

Oczywiście A, B są niepuste z założenia. Jeśli by istniały elementy x G A i y £ B takie że y < x to istniałby a € A taki że x < a i z przechodniości relacji mniejszości mamy y < a więc y € A co jest niemożliwe (y E R \ A), więc

x € A, y € B to x < y.

Więc rzeczywiście A, B jest niepustym podziałem R. Z aksjomatu Dedekinda wynika istnienie elementu c € R takiego że c € A jest największym elementem zbioru A lub c € B najmniejszym zbioru B. Oczywiście c jest ograniczeniem górnym zbioru D C A (c jest największym w A o ile c € A, c € B to a € A to a < c bo A, B jest podziałem R). Teraz udowodnimy, że c jest najmniejszym ograniczeniem zbioru D. Przypuśćmy że istnieje mniejsze ograniczenie górne zbioru D np d < c, to oczywiście d < c” :=    < c i c" jest ograniczeniem zbioru A a więc D. Oczywiście

c” € B więc tym bardziej c € B wiec c jest najmnieszym elementem w B z aksjomatu Dedekinda co jest sprzeczne z faktem że c” < c (c” € B) co kończy dowód naszego twierdzenia. ■

Uwaga 0.2.1 Analogicznie definiuje się pojęcie ograniczenia dolnego zbioru oraz kresu dolnego zbioru i oczywiście zachodzi Twierdzenie o kresie dolnym.

Twierdzenie 0.2.2 Zbiór liczb naturalnych N jest nieograniczony w R.

Dowod. Przypuśćmy, że teza jest nieprawdziwa, tzn. N jest ograniczony. Więc na mocy poprzedniego twierdzenia o kresach zbiór N ma kres górny g £ R. Więc

1.    n € N to n < g.

2.    g' < g to istnieje no € N takie że g' < no.

Jeśli g' — g — 1 to z 2) mamy

g-l<n₀ —> g<n₀ + l<g —► g < g,

gdzie skorzystaliśmy z definicji liczb naturalnych (n € N to n + 1 € N), a stąd otrzymujemy sprzeczność. ■

Twierdzenie 0.2.3 Jeśli a, b G R \ Q i a < b, to istnieje c€ Q takie że a < c < b.