25123

Twierdzenie 6.2.

Jądro homomorfizmu <p: G —»//jest podgrupą grupy G.

Dowód.

Niech a_x, a₂ e Ker 9, wtedy cp(fli) = 9(tf₂) = ^2- Ponieważ <p jest homomorfizmem, to 9(01*02) = 9(01) °9(02) = e₂ °e₂ = e₂, skąd 01*02 e Ker 9. Jeśli a e Ker 9, to zgodnie z twierdzeniem 1.13 9(0') = 9(0’) = 9(0)'¹ = e₂ = e₂, skąd a ¹ e Ker 9. Ponieważ z twierdzenia 6.1 mamy e\ e Ker 9, to na mocy definicji Ker 9 jest podgrupa grupy G.

£* Definicja.

Jeżeli 9: G —» H jest homomorfizmem grup, to zbiór

Im 9 = { h e H I 3ae G, h =9(a) } nazywamy obrazem homomorfizmu 9.

Twierdzenie 6.3.

Obraz homomorfizmu 9: G —> H jest podgrupą grupy H.

Dowód.

Niech bu e Im 9, wtedy 3 au a₂e G, że b\ = 9(01), b\ = 9(01). Zatem b] o b₂ = 9(0,) o(p(a₂) = 9(01*02) e Im 9. Jeśli b e Im 9, to 3 a e G, że b = 9(0), wtedy zgodnie z twierdzeniem 6.1 b'^] = 9(«)'¹ = 9(0') e Im 9. Ponieważ e₂- 9(^1) e Im 9, to na mocy definicji Im 9 jest podgrupa grupy H.

Twierdzenie 6.4.

Homomorfizm 9: G —> H jest monomorfizmem <=> gdy Ker 9 = e, gdzie e jest elementom neutralnym grupy G.

Homomorfizm 9: G —» H jest cpimorfizmcm <=> gdy Im 9 = H.

Dowód.

1. Załóżmy, że Ker 9 = e_v Jeżeli dla pewnych a_ha₂e G mamy 9(0,) = 9(02)* to 9(0 j* a₂^l) = 9(«i) o [9(a₂)l¹ = 9(02) ⁰ [9(^2)]¹ = ^2» skąd otrzymujemy, że 01* a₂e Ker 9 = e\, czyli a\ = a₂. Wobec tego 9 jest monomorfizmem. Na odwrót, niech 9 jest monomorfizmem i niech a € Ker 9. Wtedy 9(0) = e₂. Ponieważ e₂ = 9(^1), to 9(a) = 9(^1), czyli a-e\. Stąd mamy Ker 9 = e_t.