490575223

4

ROZDZIAŁ 1. GRUPY

1.    Jeśli H < G i K < G, to HK = KH i wobec tego HK jest podgrupą grupy G. A więc iloczyn kompleksowy dowolnej podgrupy normalnej i dowolnej podgrupy grupy G jest podgrupą grupy G.

2.    Jeśli H <3 G oraz a,b £ G, to

aHbH = a(Hb)H = a(bH)H = abHH = abH.

A więc iloczyn kompleksowy dwóch warstw względem podgrupy normalnej H jest znów warstwą względem H. Zbiór G : H wszystkich warstw aH grupy G względem podgrupy normalnej H oznacza się G/H. Zbiór G/H z kompleksowym mnożeniem warstw jest grupą (z jedynką H). Nazywa się ją grupą ilorazową grupy G względem podgrupy normalnej H.

Przykład 1.1.2. Jeśli grupa G jest abelowa, to każda podgrupa H grupy G jest podgrupą normalną.

W dowolnej grupie G jej centrum

Z(G) = {a e G : ag = ga V g G G} jest podgrupą normalną w G.

W pełnej grupie liniowej GL(n, K) stopnia n nad ciałem K centrum składa się z wszystkich macierzy skalarnych al, gdzie a (E K* oraz I jest macierzą jednostkową stopnia n (zob. [S], zad. 288). Mamy także SL(n, K)<GL(n, K). Dla A e GL(n, K) warstwa A • SL(n,K) składa się z wszystkich macierzy grupy GL(n,K), których wyznacznik jest równy det A.

Komutantem grupy G nazywa się podgrupę [G, G] grupy G generowaną przez zbiór wszystkich komutatorów, czyli elementów postaci [a, 6] := a^_1ó^_1aó, gdzie a, b są dowolnymi elementami G. W grupie abelowej G mamy [a, b] = 1 dla każdych a, b € G, zatem także [G, G] = 1. Natomiast w grupie nieabelowej G jej komutant [G, G] jest zawsze nietrywialną podgrupą grupy G. Ponadto, [G, G] < G dla każdej grupy G. Łatwo stwierdzić, że grupa ilorazowa G/[G, G] jest abelowa.

Grupę G / {1} nazywa się prostą, jeśli podgrupa jednostkowa E = {1} oraz cała grupa G są jedynymi podgrupami normalnymi w G.

Przykład 1.1.3. (a) Na podstawie twierdzenia Lagrange’a, jeśli rząd grupy G jest liczbą pierwszą, to grupa G nie posiada właściwych podgrup i tym bardziej nie posiada właściwych podgrup normalnych, jest zatem grupą prostą. A więc grupy reszt Z_p, gdzie p jest liczbą pierwszą, są proste.

(b)    W kursowym wykładzie algebry dowodzi się także, że grupy alternujące A_n (grupy permutacji parzystych) dla n > 5 są grupami prostymi.

(c)    Jeszcze jedną serię nieskończoną skończonych grup prostych otrzymuje się jako grupy ilorazowe specjalnych grup liniowych. Grupa SL(n, K) ma centrum złożone z macierzy skalarnych o wyznaczniku 1, a więc

Z(SL(n, K)) = {al :ae K*, aⁿ = 1}.

Grupa ilorazowa SL(n, K)/Z(SŁ(n, K)) nazywa się rzutową grupą specjalną stopnia n nad ciałem K i oznacza się ją PSL(n, K). Można udowodnić, że dla każdego ciała K, które ma co najmniej 4 elementy i dla każdej liczby naturalnej n > 2 grupa PSL(n,K) jest prosta (zob. [KM], str. 125).