490575228

1.1. GRUPY, PODGRUPY, HOMOMORFIZMY

Wniosek 1.1.9. Jeśli K<\G, H <G i K < H, to K<H oraz

(a)    H/K < G/K,

(b)    {G/K)/{H/K)^G/H.

Dowód. Rozpatrzmy homomorfizm kanoniczny k : G —> G/K =: G'. Wtedy na podstawie wniosku 1.1.8 mamy k(H) = H/K<G/K, oraz na podstawie twierdzenia 1.1.7 otrzymujemy G/H Sś G'/k{H) = {G/K)/{H/K).

Bardziej bezpośredni dowód otrzymamy rozpatrując odwzorowanie

G/K —> G/H, gK i—> gH.

Jest to epimorfizm z jądrem H/K. Izomorfizm w części (b) wniosku otrzymujemy przez zastosowanie wniosku 1.1.5.    □

Twierdzenie 1.1.10. (Twierdzenie o izomorfizmie.)

Jeśli H <1 G, K < G, to

(a)    HCK<K,

(b)    HK/H = K/H n K.

Dowód. Przede wszystkim HK < G, gdyż z założeń wynika, że HK = KH, a to wystarcza by iloczyn dwóch podgrup grupy G był jej podgrupą. H jest podgrupą normalną w G, zatem jest także podgrupą normalną w HK. Dla dowodu twierdzenia rozważamy homomorfizm

K -> HK/H, k ■-> kH.

Jest to epimorfizm i ma jądro KC\H skąd wobec wniosku 1.1.5 otrzymujemy (b). □

1.1.5 Automorfizmy wewnętrzne

Automorfizmem grupy G nazywamy każdy izomorfizm a : G —* G. Zbiór Aut G wszystkich automorfizmów grupy G jest podgrupą grupy symetrycznej S{G) zbioru G. Dla każdego elementu a € G definiujemy odwzorowanie

i_a G —* G, i_a{x) = axa~^l.

Łatwo sprawdza się, że i_a € Aut G. Automorfizm i_a nazywa się automorfizmem wewnętrznym grupy G. Dla a,b € G mamy i_a°ib = lab oraz ij¹ = i_a-1. Stąd wynika, że automorfizmy wewnętrzne tworzą podgrupę w grupie automorfizmów grupy G. Nazywamy ją grupą automorfizmów wewnętrznych grupy G i oznaczamy Inn G. Odwzorowanie G Inn G, a i—► i_a jest epimorfizmem grup. Jądrem tego epimor-fizmu jest podgrupa normalna

{a € G : i_a = id^} = {a € G : ax = xa Va: € G} = Z{G).

Na podstawie wniosku 1.1.5 mamy zatem izomorfizm

InnG = G/Z{G),

gdzie Z{G) jest centrum grupy G.