357502987

3

1.1. GRUPY, PODGRUPY, HOMOMORFIZMY

równoliczne a ich wspólną moc nazywa się indeksem podgrupy H w grupie G. Zbiór parami rozłącznych warstw lewostronnych a*i/ oznacza się G : H. Moc \G : H\ zbioru warstw G : H, czyli moc zbioru I, jest więc indeksem podgrupy H w grupie G.

Rozkład grupy G na sumę mnogościową parami rozłącznych warstw wraz z faktem, że każde dwie warstwy grupy względem tej samej podgrupy są równoliczne, prowadzi natychmiast do twierdzenia Lagrange’a mówiącego, że dla grupy skończonej G i jej dowolnej podgrupy H mamy

|C:/f|-|ff| = |0|.

Łatwo też zauważyć uogólnienie: dla gi'upy skończonej G, jeśli K < H < G, to \G : H\ • \H : K\ = \G : K\.

1.1.3 Podgrupy normalne

Podgrupa H grupy G nazywa się podgrupą normalną, jeśli aH = Ha Va € G.

Piszemy wtedy H <G. Zob. [S], zad. 213, gdzie podanych jest 10 innych warunków definiujących podgrupę normalną.

Dwie podstawowe obserwacje:

1.    Jeśli H < G i K < G, to HK = KH i wobec tego HK jest podgrupą grupy G. A więc iloczyn kompleksowy dowolnej podgrupy normalnej i dowolnej podgrupy grupy G jest podgrupą grupy G.

2.    Jeśli H < G oraz a, 6 € G, to

aH ■ bH = a(Hb)H = a(bH)H = abHH = abH.

A więc iloczyn kompleksowy dwóch warstw względem podgrupy normalnej H jest znów warstwą względem H. Zbiór G : H wszystkich warstw aH grupy G względem podgrupy normalnej H oznacza się G/H. Zbiór G/H z kompleksowym mnożeniem warstw jest grupą (z jedynką H). Nazywa się ją grupą ilorazową grupy G względem podgrupy normalnej H.

Przykład 1.1.2. Jeśli grupa G jest abelowa, to każda podgrupa H grupy G jest podgrupą normalną.

W dowolnej grupie G jej centrum

Z(G)={aeG:ag = ga V₉ 6 G}

jest podgrupą normalną w G.

W pełnej grupie liniowej GL (n,K) stopnia n nad ciałem K centrum składa się z wszystkich macierzy skalarnych al, gdzie a € K* oraz I jest macierzą jednostkową stopnia n (zob. [S], zad. 288). Mamy także SL(n, K) < GL(n, K). Dla A € GL(n, K) warstwa A • SL(n, K) składa się z wszystkich macierzy grupy GL(n, K), których wyznacznik jest równy det A.

Komutantem grupy G nazywa się podgrupę [G, G] grupy G generowaną przez zbiór wszystkich komutatorów, czyli elementów postaci [a, b\ := a~^lb~^lab, gdzie a, b są dowolnymi elementami G. W grupie abelowej G mamy [a, 6] = 1 dla każdych a, b € G, zatem także [G,G] = 1. Natomiast w grupie nieabelowej G jej komutant [G, G] jest zawsze nietrywialną podgrupą grupy G. Ponadto, [G, G] < G dla każdej grupy G. Łatwo stwierdzić, że grupa ilorazowa G/[G, G] jest abelowa.

Grupę G^{1} nazywa się prostą, jeśli podgrupa jednostkowa E = {1} oraz cała grupa G są jedynymi podgrupami normalnymi w G.

Przykład 1.1.3. (a) Na podstawie twierdzenia Lagrange’a, jeśli rząd grupy G jest liczbą pierwszą, to grupa G nie posiada właściwych podgrup i tym bardziej nie posiada właściwych podgrup normalnych, jest zatem grupą prostą. A więc grupy reszt Z_p, gdzie p jest liczbą pierwszą, są proste, (b) W kursowym wykładzie algebry dowodzi się także, że grupy alternujące A_n (grupy permutacji parzystych) dla n > 5 są grupami prostymi.