54868

1.3. DEFINICJA. Homomorfizm liniowy posiadający odwzorowanie odwrotne nazywa się i/omorfi/mem przestrzeni liniowych. Mówimy, że przestrzenie wektorowe V i V* są izomorficzne . jeśli istnieje izomorfizm V na V’. Izomorfizmy przestrzeni wektorowej V na siebie nazywamy automorfizniaml

PRZYKŁAD. Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K, B = (v_L ...,v„) baza V. Wtedy

Mb: V —> M„(K), M_B(v)

oraz Mb'¹

XiVj + ...

, gdy v = XjVi + ... + x„Vii, jest izomorfizmem przestrzeni wektorowych

x„v_n.

2. JĄDRO I ODRAZ PRZEKSZTAŁCENIA UNIQWĘęQ,

2.1. DEFINICJA. Niech Fe Hom(V.V’). Jądrem przekształcenia liniowego F nazywamy zbiór kerF := F*'(0) - {v e V: F(v) 0}. Obrazem przekształcenia liniowego F nazywamy zbiór ImF {u e V’: istnieje wektor v e V, taki że F(v) = u}.

TWIERDZENIE. Niech Fe Hom(V,V'). Wtedy:

1.    KerF jest podprzestrzenią liniową przestrzeni V,

2.    ImF jest podprzestrzenią liniową przestrzeni V’.

2.2.    TWIERDZENIE. Niech Fe Hom(V,V’). Wtedy następujące warunki są równoważne:

1.    F jest różnowartościowe,

2.    KerF = {0},

3.    dla dowolnego liniowo niezależnego układu (vi,...,vk) wektorów z przestrzeni V układ (F(vj),...,F(Vk)) jest liniowo niezależny,

4.    istnieje baza B = (vi,...,v„) przestrzeni wektorowej V, taka że układ F(B) = (F(vi),...,F(v„)) jest liniowo niezależny.

TWIERDZENIE. Niech V, V’ będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem K, B = (vi,...,v„) będzie bazą przestrzeni wektorowej V, oraz v^,i,...,v^,„ e V*. Wtedy istnieje dokładnie jeden homomorfizm F: V —> V\ taki że F(v_t) = v\. Ponadto

a)    kerF = {0} <=> wektory v^,i,...,v^,„ są liniowo niezależne,

b)    ImF = V’ «=> V' = L(v^,i,...,v^,„),

c)    F jest izomorfizmem <=> wektory v^,i,...,v\, są bazą przestrzeni V".