6628926842

Dowód:

n

Definicja 1.2.4. Równaniem liniowym z dwiema niewiadomymi x\ i X2 nazywamy równanie postaci

airri + 02X2 = b,

gdzie ai,a2,6 G M.

Definicja 1.2.5. Układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi X\ i X2 nazywamy koniunkcję równań liniowych z tymi niewiadomymi, czyli

{anxi + ai2^2 = h a,2ixi + 022X2 = b₂

gdzie On, 012,021, o22,&i,&2 € M.

Macierze

nazywamy odpowiednio macierzą układu i kolumną wyrazów wolnych.

Twierdzenie 1.2.6. Jeżeli macierz A układu równań liniowych

( a_nx! + a₁₂x₂ = bi \ 021^1 + 022X2 = &2

ma wyznacznik różny od zera,

dokładnie jedno rozwiązanie

to układ ten ma

f _x, — detAi

_Xo-MA

l ^2 - _det A

gdzie Aj, j = 1,2, oznacza macierz powstałą z macierzy A przez zastąpienie j-tej kolumny kolumną wyrazów wolnych.

Dowód:

□

1.3 Kombinacja liniowa, baza

Definicja 1.3.1. Wyznacznikiem wektorów v, w G M² nazywamy liczbę

det(t;,ty) = ^Vl V2 \ = v\W2 — t^toi.

’    | W\ W2 |

Stwierdzenie 1.3.2. Dla dowolnych wektorów v,w G M² spełniony jest warunek

det (u, w) = O o || ty (lub równoważnie det(u, ty) ^ O <*=>■ v |fty).

Dowód:

□

Wniosek 1.3.3. Jeżeli wektory t),ty G M² nie są równoległe, to dla każdego wektora igK² istnieje dokładnie jedna para (a, b) liczb takich, że x = a-v+b-w.

4