str231

§ 5. RÓWNANIE FALOWE 231

§ 5. Równanie falowe

Definicja 1. Równaniem falowym nazywamy równanie różniczkowe cząstkowe o następującej postaci:

,    1 d²u

V²u——2‘ -—~r = °.

(5.1)

C² dl¹

Definicja 2. Dalambercjanem nazywamy następujący operator różniczkowy:

(5.1')

2 ¹ 9 U~^V ~C² dt²'

Własność 1. Równanie falowe (5.1) można zapisać w postaci

(5.2)    Du =0. f

Definicja 3. Rozwiązaniem podstawowym równania falowego w przestrzeni albo potencjałem opóźnionym punktu nazywamy funkcję

(5.3)    u(r, t) =

•H) *H)

+

gdzie <P_t i <P₂ są dowolnymi funkcjami mającymi ciągłe pochodne do rzędu drugiego włącznie, przy czym

r = V(x — x₀)² + CV “ J>o)² + (z - z₀)².

Definicja 4. Potencjałem opóźnionym warstwy pojedynczej wywołanym w punkcie P w chwili t przez zmienny w czasie ładunek rozłożony na powierzchni S nazywamy funkcję U określoną przez następującą całkę powierzchniową:

(5.4)

U (A

dS,

gdzie A(x,y, z) są punktami wewnętrznymi obszaru Q (patrz rys. 4.5), B{£,V, 0 są punktami leżącymi na powierzchni S ograniczającej obszar Q, p(B, t) jest funkcją ciągłą zmienną w czasie i określoną na powierzchni S; funkcja p nosi nazwę gęstości powierzchniowej ładunku',

r = \AB\ = V(x —0² + (y —# + (z — Q².

Definicja 5. Potencjałem warstwy podwójnej nazywamy następującą funkcję:

(5.5)

U (A,

rr^8	i •** 1
J.U	r

dS

(oznaczenia w powyższym wzorze, jak w zależności 5.4).