73987 str211

ilEGO 8 2. KLASYFIKACJA RÓWNAŃ LINIOWYCH Z DWIEMA ZMIENNYMI 211

iżniczkowe

0

36.

rych ó<0. Mamy zatem

x y

— +— = 1 (patrz rys. 4.1).

iżniczkowe = 0

mnktów M(x, y), dla których

f

, y) leżących w następujących

Zadanie 2.3. Sprowadzić do postaci kanonicznej następujące równanie:

d²u    8²u    . ₂ d²u    8u

(1)    —i+4cos2x--4sin 2x—= — 4sm2x— = 0.

^v J    dx²    dxdy    dy²    dy

Rozwiązanie. Obliczamy 8 dla określenia typu danego równania

8 = B²—4AC = 16cos²2x + 16sin²2x = 16>0.

Równanie (1) jest zatem typu hiperbolicznego. Piszemy obecnie równanie różniczkowe charakterystyk

dy\²    dy    ,

— ) — 4cos2x--4sm²2x = 0,

dxj    dx

skąd mamy

<²>    *c ----------- dx

Rozwiązania równań (2) dają następujące rodziny charakterystyk: y — sin2x+2x = C_{, y — sin2x — 2x = C₂.

Dla sprowadzenia równań (1) do postaci kanonicznej przechodzimy do naszych zmiennych £ i t] (2.12) określonych następującymi zależnościami:

8 = y—sin2x+2x, tj = y—sin2x—2x.

Obliczamy obecnie współczynniki A_t, /?,, C,, a_t, b_t w równaniu różniczkowym (2.6) po przejściu do zmiennych 8 i tj

A | = Ci = 0,

B, _ 1A    *+*• —j+2C —■ * =

8x dx \8x dy 8y 8xJ dy dy

= 2(4cos²2x-4)+4cos2x( —2cos2x + 2 —2cos2x—2)—8sin²2x = —16,

dy

— = 2cos2x — 2 lub dx

a, — A

dy

= 2 cos 2x + 2.

d²8    8²ę    8²8    dl*    88

,+B

+ C -—5 + ci ——|- b —— —

3x² ' ~ dxdy ' ~ dy² ' ” 8x ’ ’ dy = 4sin2x—4sin2x = 0,

d²n d²n d²n 8t] dt]

^b'~^Ad?^+Bd^y^+Cd?^+arA^ba'y~

= 4sin2x—4sin2x = 0.

We współrzędnych 8, i ą równanie (1) przyjmuje następującą postać kanoniczną:

8²u

Kdti

= o.

14*