39667 str215

IEGO 9 2. KLASYFIKACJA RÓWNAŃ LINIOWYCH Z DWIEMA ZMIENNYMI 215

IEGO 9 2. KLASYFIKACJA RÓWNAŃ LINIOWYCH Z DWIEMA ZMIENNYMI 215

du

d~y ⁼ °-

• postaci kanonicznej. Obli-

ly jak w zadaniu 2.1. Rów-jest związek

my obie jego strony względem

równania (5) jest funkcja

(6)    utf,v) = A{i)e\

Obecnie uzmienniamy A(£) względem zmiennej ij, tzn. poszukujemy takiej funkcji A (£, tf), ażeby wyrażenie

(7)    utf.ri) = A(ę,ri)eⁿ

spełniało równanie (5). Po zróżniczkowaniu względem rj funkcji (7) i podstawieniu do równania (5) otrzymujemy następujący związek:

dA

—    = <p(ri),

dt]

,

dri

skąd po scałkowaniu mamy

(8)

A(^i₁) = B(_n) + F(0,

ównaniu kanonicznym

= 36x²,

gdzie B i F są dowolnymi funkcjami różniczkowalnymi jednej zmiennej. Po uwzględnieniu zależności (8) we wzorze (7) otrzymujemy ogólne rozwiązanie równania (4)

u(ę,r,) = [B(r,)+Ftf]e\

które możemy również zapisać w następującej formie:

(9)    utf,r,) = G(r,)+F(Oe\

gdzie G(rj) jest dowolną funkcją różniczkowalną.

Ogólne rozwiązanie równania (1) otrzymujemy z zależności (9) po uwzględnieniu w niej związków określonych wzorami (3)

u{x, y) = G(x²-y) + F(2x² + y)e^x2~^y.

Zadanie 2.7. Wyznaczyć rozwiązanie równania d²u d²u , , d²u

O)

dx

dxdy

dy²

du

spełniające warunki

(2)

u(x, x²) = <p(x)

■

owiązujemy metodą uzmien-wych liniowych zwyczajnych stad:    <

gdzie <p(x) A ip(x) są danymi funkcjami całkowalnymi.

Rozwiązanie. Dane równanie (1) jest typu hiperbolicznego, ponieważ <5>0. Zależności

y-x²+x = C₁, y-x²-x = C₂

są równaniami charakterystyk. Równanie (1) sprowadzamy do postaci kanonicznej przechodząc do zmiennych £, i ą określonych wzorami

(3)    £ = y — x² + x, n = y-x²-x.