str217

§ 2. KLASYFIKACJA RÓWNAŃ LINIOWYCH Z DWIEMA ZMIENNYMI 217

Zadanie 2.8. Wyznaczyć rozwiązanie równania

d²u    d²u    , d²u    du

—^+4sinx--4cos x—-^ + 2cosx — = 0,

dx²    dxdy    dy²    dy

(1)

■ SI

spełniające warunki

(2)    w(x, — 2cosx) = 16x³,    | —)    =16x.

' * / y— ”2 cos x

Rozwiązanie. Dane równanie (1) jest typu hiperbolicznego, ponieważ <5>0. Zależności

y+2cosx—2x = Cj, y + 2cosx+2x = C₂

są równaniami charakterystyk. Równanie (1) sprowadzamy do postaci kanonicznej przechodząc do zmiennych £ i r\ określonych wzorami

(3)    Ź = y + 2cosx—2x,    t] — y + 2cosx+2x.

Po obliczeniu współczynników występujących w równaniu kanonicznym otrzymujemy

(4)1

= 0.

ć)V

o&i

Ogólnym rozwiązaniem równania kanonicznego (4) jest następująca funkcja:

(5)    u(ę,r,) = F(0+G(r,),

gdzie F i G są dowolnymi funkcjami różniczkowalnymi jednej zmiennej. Uwzględniając związki (4) w funkcji (5), otrzymujemy ogólne rozwiązanie równania (1)

(6)

«(x, y) = P(y+2cosx —2x) + G(y+2cosx+2x).

Obecnie należy wyznaczyć takie funkcje F i G, ażeby funkcja (6) spełniła żądane warunki (2). Obliczamy w tym celu pochodną funkcji (6) względem zmiennej y

du

— = i^?'(>^,+2cosx—2x) + G'(y + 2cosx-t-2x).

_8y--

Z warunków (2) otrzymujemy^następujące^związki:

(7)    F(—2x)+G(2x) = 16x³,

(8)    F'(—2x)+G'(2x) = 16x.

Całkujemy obie strony zależności (8) względem x, a następnie piszemy wraz z zależnością (7) dwa związki, w których występują dwie nieznane funkcje F i G

F(—2x)+G(2x) = 16x\

—F(—2x)+G(2x) = 8x² + C.

Dodając lub odejmując stronami zależności (9), otrzymujemy nieznane funkcje

F(z) = -z³-z²-\c,

G(z) = z³ + z²+łc,

(9)