str209

GO S 2. KLASYFIKACJA RÓWNAŃ LINIOWYCH Z DWIEMA ZMIENNYMI 209

GO S 2. KLASYFIKACJA RÓWNAŃ LINIOWYCH Z DWIEMA ZMIENNYMI 209

: przy przejściu do innych

. u- ^D#> n)^_n kobian —--# 0 w roz-

D(x,y)

rzeprowadza się klasyfikację isób:

bolicznym,

ibolicznym,

rcznym.

swiązana jest pewna postać

<5>0.

<5>0,

1 = 0,

<5 <0.

: do zmiennych f = f(x, y) mych postaci kanonicznych, niu

u+d = 0,

ich zmiennych f, — f(x, y)

₍J,«i

dy dy'

A*0,

C¥= 0.

Omówimy obecnie sposób dobierania funkcji f = f(x,y) i tj = g(x, y), ażeby przekształcone równanie (2.6) miało postać kanoniczną.

Definicja 2. Charakterystykami równania (2.1) nazywamy krzywe całkowe równań różniczkowych zwyczajnych

(2.8)    A dy² -Bdxdy + Cdx² = 0,

które możemy zapisać w następującej postaci:

(2.9)	dy	B — yJd	dy	B + Jó
	dx	2 A *	dx	2A ’
lub
	dx	1 1 K5	dx	B + s/d
(2.10)	dy	2 C ’	dy	2 C ’

Niech zależności

(2.11)    f(x,y) = C_l i g(x,y) = C₂

będą całkami pierwszymi równań (2.9) lub (2.10).

Przypadek 1. Jeżeli równanie (2.1) jest typu hiperbolicznego (<5>0), to przyjmujemy nowe zmienne £ i 7; w następujący sposób:

(2-12)    ę = f(x,y), t] = g(x, y),

gdzie fi g są funkcjami występującymi w zależnościach (2.11). W tym przypadku otrzymujemy z wzorów (2.7) A_t = C_l = 0, B_t ^ 0 i równanie (2.6) przyjmuje postać (2.3). Dla otrzymania postaci kanonicznej (2.2) należy przyjąć

(2-13)    Z = f(x,y)+g(x, y), g = f(x, y)-g(x, y).

Przypadek 2. Jeżeli równanie (2.1) jest typu parabolicznego (<5 = 0), to przyjmujemy nowe zmienne £, i t] w następujący sposób:

(2-14)    Z = f(x,y), g = cp(x,y), gdzie /jest funkcją występującą w zależnościach (2.11) natomiast ę jest dowolną funkcją klasy C² liniowo niezależną od /.

W tym przypadku otrzymujemy ze wzorów (2.7) A_t — B_t = 0, C, 0 i równanie (2.6) przyjmuje postać (2.4).

Przypadek 3. Jeżeli równanie (2.1) jest typu eliptycznego (ó<0), to przyjmujemy nowe zmienne ^ i t] w następujący sposób:

(2.15)    <* = a(x,y), g = P(x,y),

gdzie a jest częścią rzeczywistą, p zaś częścią urojoną funkcji f(x, y) występującej w zależnościach (2.11), tzn. f(x,y) = a(x, y)+iP(x, y).

W tym przypadku A_{ = C_t =£ 0, B_t = 0 i równanie (2.6) przyjmuje postać (2.5).

14 — Wybrane działy matematyki...