matma
0

§ 6. Układy równań

Równaniem pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi nazywamy równanie postaci ax + by + c = 0, gdzie liczby a, b nie są jednocześnie równe zeru.

Mówimy, że uporządkowana para liczb (w, n) spełnia równanie

ax + by + c = 0, jeśli zdanie am+bn + c = 0 jest prawdziwe.

Rozwiązaniem równania ax + by + c = 0 nazywamy każdą uporządkowaną parę liczb spełniających to równanie.

Rozwiązaniem układu dwóch równań z dwiema niewiadomymi nazywamy każdą uporządkowaną parę liczb spełniających oba równania układu.

(ax + by + c = 0

Układ równań ^    '    nazywamy układem równań:

[a_lx + b_ly + c_i = 0

a)    niezależnych <=> układ ma dokładnie jedno rozwiązanie,

b)    zależnych <=> każda para liczb spełniających jedno równanie spełnia również i drugie równanie i na odwrót (zbiory rozwiązań obu równań są równe),

c)    sprzecznych <=> zbiór rozwiązań układu jest zbiorem pustym.

(ax + by+c = 0

Układ równań -Z    '    jest układem równań:

[a_lx + b_ly + c₁ = 0

a)    niezależnych<=>uh, —a_xb #0,

b)    zależnych<=>«/?!—u,h = bc_l—b₁c = 0,

c)    sprzecznych o ab_{ —a_xb = 0 i (bc_l—b₁c =£ 0 lub ac_x —a_xc # 0).

W przypadku a) geometryczną interpretacją układu są dwie proste przecinające się; a przypadku b) — dwie proste pokrywające się, a w przypadku c) — dwie różne proste równoległe.

Układem równań jednorodnych związanym z danym układem (ax + by + c = 0

(a₁x+ b_xy + c_x = 0 nazywamy układ (ax + by = 0

b_xy = 0.

Zadania

6.1.    Wskaż trzy dowolne rozwiązania podanego równania z dwiema niewiadomymi:

a) 2x + y = 5,    d) -x-j> = 6,

b) 3x—4y = 1,    e) x —3y = 0,

c) x + 2y = 4,    f) 4x + ly = 5.

6.2.    Wskaż trzy pary liczb całkowitych spełniających równanie:

, l    .111

a)    x+-y = 2,    c) -_X--y = ~,

b)    0,3x —2y = 1,    d) 2x — y =

6.3. Wskaż trzy dowolne, ale nie równoważne równania z dwiema niewiadomymi, które spełnia podana para liczb.

a) (1,1),    c) (3, —4)    e)(o,Ó,

b) ( — 2,1),    d) (‘,    f)(-l,0).

6.4.    Ułóż równanie z dwiema niewiadomymi tak, aby rozwiązaniem tego równania była każda z obu podanych par liczb.

a)    (2,1) i ("i,—    2\ c) (-1,-2) i (3,1),

b)    (2,1) i (8,-1),    d) (0, 0) i (6, 2).

6.5.    Ułóż. układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi tak, by podana para liczb była rozwiązaniem tego układu:

a) (3,4)    c) (2, — 1),    e) (1, 1),

b) (1, —3)    d) (OJ),    Of¹,-¹!