49817

RÓWNANIA

1. Pierwszego stopnia (liniowe)

a)    Z jedną niewiadomą:

ax + b= 0 x- 0 - — a

b)    Układ równań z dwiema niewiadomymi:

U*+ V= ^c>

a₂x + b₂y - c₂

b,c. - b.c-,

x - ——-

ajb_t - a₂b_x

y =

a_xc₂ - a₂c_x a_xb₂ - a₂b_x

c) Układ równali z trzana niewiadomymi: aiX + biy + C|Z=d! a:X + b;y + C:Z = d: ajX + b*y+ CiZ = d_}

Równania stopnia drugiego

a)

b)

- b + yjb¹ - Aac 2 a

ax²+bx+ c= 0    .v,, =

x²+px + q = 0    .r,, =

Wyróżniki:

Dla a) A z b^z - Aac : dla b) A = — - q

4

Gdy:

A >0 wówczas równanie ma 2 pierwiastki rzeczywiste różne (.r, t ,t₂);

A = 0 wówczas równanie ma 2 pierwiastki rzeczywiste równe (x_x= x₂): A <0 wówczas równanie ma 2 pierwiastki zespolone sprzężone (x, t x₂)\

Suma. różnica i iloczyn pierwiastków:
b		c
Dla a) .t, + x, = —	•^T2 “ ^T1 ^= -	xx x2 = -
a	a	a
b) x, + x2 = - />	x2 - xx = 2yfl	*1*2 = q

Rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki: ax^: + bx + c + = a (x - Xi )(x - x_:)

Postać kanoniczna trójmianu kwadratowego:

ax‘ + bx+ c- a

Xi

la

A

Aa²

3. Równania 2 n stopnia

Równanie typu:

* ^2H + bx”+ c - 0

sprowadzić można do równania 2 stopnia przez podstawienie: V = x". wówczas otrzymujemy równanie:

U")² + bx" + c- y² + by i c- 0