62 (105)

3.2.2. Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą (II stopnia a # O) (II)

b) Zbiorem rozwiązań nierówności kwadratowej są liczby x spełniające nierówność: ax² + bx + c 0 lub ax² + hx + c . v 0. Zbiór rozwiązań nierówności kwadratowej zależy od znaku współczynnika a i znaku

wyróżnika A (por. 3.2.Ig.): (I) przypadek nierówności:

ax +bx + c <v.\0

x € (—co:.v,) U (jCj-. +oo) .v e R\{r₀} [x e (—oo;.v,j u (*,: +®)j (a e R)

*e/t

(A-e R)

a < 0

X e (*,;*,) (jc 6 (a,;x,))

X £ 0 '

(* e 0)

,x 6 0

(A€ {*.})

(2) przypadek nierówności:

ax‘ + bx + c

xe(x,:x_t)    xe0    *ee>    * e (-oo;x,) u (*,:+«>) x e K\{x₀}    'xgR

(xe(x_t.x₂))    (xe{x₀})    (*eo) (x e (-«o;x,) u (x,:+»)) (xeR)    (x e R)

Uwaga: W przypadku nierówności ostrych (> 0 V < 0) końce x_p x₂, (yxj nie należą do zbioru rozwiązań - przedziały są w tych końcach otwarte. W przypadku zaś nierówności słabych (> 0 V 0) końce x_px_v    należą

do zbioru rozwiązań (bo w nich zrealizowane są równości: = 0) — przedziały są więc w tych końcach domknięte, c) Porównanie procedury rozwiązywania równania i nierówności kwadratowej.

Równanie ax~ + bx + c - 0	Nierówność 2 > 2 < ax +&c + c/s,0Vax + fc.t + r , ^.0
Obliczamy: wyróżnik A oraz istniejące pierwiastki (miejsca zerowe funkcji kwadratowej). .v,, ,v, lub .\\v. ewentualnie stwierdzamy ich brak.
Formułujemy odpowiedź: x, = x2 = ... lub x0 = ... albo stwierdzamy brak pierwiastków (por. graf w 3.2.2a.).	Ilustrujemy znaki trójmianu kwadratowego na osi liczbowej, zaznaczamy stosowny przedział i formułujemy odpowiedź: v e ... (por. grafy (1). (2) w 3.2.2b.).

Uwaga: Początkowe etapy rozwiązywuniu zarówno równania, jak i nierówności są identyczne. Rozwiązy wanie równania kończy się w momencie obliczeniu pierwiastków. Nierówność ilustruje się jeszcze na osi liczbowej i wybiera stosowny przedział.