61 (105)

3.2.2. Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą (II stopnia a ^ O) (I)

Założenie: a 0 (gdyby było a = 0, to równanie słało by się liniowym: bx + c = 0).

ponadto: gdy * # 0 ć | to zarówno równanie, nierówność, jak i trójmian kwadratowy nazywamy zupełnym.

Równnnic

Nierówność

drugiego stopnia

Hi?⁴ oj

ax^:+bx + c = 0	ax^2+bx + c>0 nierówności ax + bx i i < 0 ostre ax + bx + c > 0 , | . nierówności ar +bx + c< 0 ^ słabe
Rozwiązywanie równania kwadratowego polega na wyznaczaniu miejsc zerowych trójmianu kwadratowego (por. 3.2. lf.).	Rozwiązywanie nierówności kwadratowej polega na badaniu znaku trójmianu kwadratowego (por. 3.2. Ig.).

a) Pierwiastek równania kwadratowego to taka liczba x, która spełnia równanie: ax +bx + c= 0. Istnienie i liczba pierwiastków równania kwadratowego zależą od znaku wyróżnika A (por. 3.2.1 f.).

ax +bx + c = 0

A> 0.

W

istnieją dwa pierwiastki -b-JA ^x'~    2a

—b + /a

x₂^:

2a

istnieje jeden pierwiastek

^xo⁼la

zwany podwójnym

ozn

X. = X. =X_f

A < 0

brak

pierwiastków

CD

Uwaga: Dla pierwiastków równania kwadratowego prawdziwe są wzory Viete’a (por. 3.2. lk.).

CO

Franęois Vićte urodził się w 1540 roku we Francji. Po ukończeniu studiów został adwokatem, a później pierwszym radcą królewskim. Zainteresowawszy się astronomią, zajął się także trygonometrią i algebrą.

Swoimi pracami dal podstawy ogólnej nauce o równaniach algebraicznych, zyskując tym miano ojca współczesnej algebry, choć równania były znane wcześniej; jako pierwszy wprowadził literowe oznaczeniu nic tylko dla wielkości niewiadomych (co niekiedy stosowano wcześniej), ale i dla wielkości danych, czyli dla współczynników. W ten sposób dopiero dzięki niemu otworzyła się możliwość wyrażania własności równań i ich pierwiastków ogólnymi wzorami.

Viete podał ogólne metody rozwiązywania równań drugiego, trzeciego i czwartego stopnia, ujednolicając tym samym metody podane wcześniej przez Ferro i Ferrariego, oraz wprowadził wzory na sumę i iloczyn pierwiastków równania kwadratowego (wzory Viete’a). Franęois Vićte był również twórcą zasady dwoistości.

Wszystkie swoje osiągnięcia Vićte zawarł w napisanej w 1591 roku pracy Isagoge in ortem analiticam. Drugie jego dzieło Effecit ionum geornetricarum ca-nonica recensio jest natomiast podstawą geometrii analitycznej.

Vićte wydawał na swój koszt bardzo wicie prac świadczących o jego wielostronnych zainteresowaniach i rozsyłał jc do uczelni prawie wszystkich krajów europejskich. Prace te jednak pisane były bardzo trudnym językiem i dlatego nie rozpowszechniły się w takim stopniu, jak na to zasługiwały.