Dziawgo; Układy równań z wieloma niewiadomymi 2

76 Układy równań liniowych z wieloma niewiadomymi

II sposób:

8	2	-1
0	1	2
-8	-1	1

Drugi sposób wykorzystuje wzory Crameru Macierze A₂, A₃ powstały przez zastąmc nie odpowiedniej kolumny macierzy A ko lwu ną wyrazów wolnych.

det(Aj) = -16

det(A₂) = 32

_ det(A,) ^Xl “ det(A)

det(A₃) = -16

-2,

^X2

det(A₂) _ _Ą det(A)

x₃

det(A₃) _ ₂

det(A)

	‘1	8	- f		”1	2	8 "
A2 =	0	0	2	a3 =	0	1	0
	1	- 8	1 _		_1	-1	-8_

Zadanie 2.

Dla jakiej wartości parametru keR poniższy układ jest układem Cramera - roz wiąż go metodą wzorów Cramera:

kx, + x₂ + 2x₃ = 1 < x, + kx₂ + 3x₃ = 1 .

Xj + x₂ + 4x₃ = k

Rozwiązanie:

det( A A

det(A,) =

		k	1 2
A	=	1	k 3
		1	1 4
-5k+l
o	(k	=1 lub k=l/
1	1	2
1	k	3	= -2k
k	1	4
k	1	2
1	1	3	3k
1	k	4

3k² l 6k 3

A zatem układ nasz nie jest układem Cranii ot tylko w przypadku, gdy k=l lub k=l/4.

= k³ -3k + 2

	k	b	1
II A,) =	1	k	1
	1	1	k

N ulem rozwiązaniem naszego układu jest:

Warto zauważyć, że jest to "dobre” rozwiązanie tylko w przypadku gdy k^l i 1/4.

_ -2k² +7k-5 4k² -5k + l _ -3k² + 6k-3 4k² -5k + l k³ -3k + 2 ^S' 4k² -5k + l

/udanie 3.

M" • i.|■■ układ równań:

2x, + x₂ + x₃ = 3 s Xj - x₂ + 2x₃ = 0 Xj + 2x₂ - x₃ = 1

•*<»/,wijjzanie:

?.    I    1    |    3

I    I    2    |    0

i    2    -i    i    i

Budujemy najpierw macierz uzupełnioną układu. I-ty wiersz tej macierzy zawiera współczynniki stojące przy zmiennych w i-tym równaniu oraz wyraz wolny tego równania. W metodzie tej liczymy rząd macierzy głównej i uzupełnionej oraz stosujemy tw. Kroneckera-Capelliego. Licząc rzędy obu macierzy posłużymy się macierzą uzupełnioną (która zawiera macierz główną układu) przyjmując zasadę, że w pierwszej kolejności tworzymy we/ctory bazowe w kolumnach macierzy głównej.

1 j	I | 3"		~ 2	1	11	3"
^1 1	2 | 0	^W2^:“ ^w2 + W, ~	3	0	3 |	3
2 i	^1 i^1	^W3: — w3 -2w,	_-3	0	-3	-5

H

w,:= w, - w.

w,:= w ₃ +3w_;