76 Układy równań liniowych z wieloma niewiadomymi
II sposób:
8 |
2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
-8 |
-1 |
1 |
Drugi sposób wykorzystuje wzory Crameru Macierze A2, A3 powstały przez zastąmc nie odpowiedniej kolumny macierzy A ko lwu ną wyrazów wolnych.
det(A2) = 32
_ det(A,) Xl “ det(A)
det(A3) = -16
X2
det(A2) _ Ą det(A)
‘1 |
8 |
- f |
”1 |
2 |
8 " | ||
A2 = |
0 |
0 |
2 |
a3 = |
0 |
1 |
0 |
1 |
- 8 |
1 _ |
_1 |
-1 |
-8_ |
Zadanie 2.
Dla jakiej wartości parametru keR poniższy układ jest układem Cramera - roz wiąż go metodą wzorów Cramera:
kx, + x2 + 2x3 = 1 < x, + kx2 + 3x3 = 1 .
Xj + x2 + 4x3 = k
Rozwiązanie:
det( A A
det(A,) =
k |
1 2 | ||
A |
= |
1 |
k 3 |
1 |
1 4 | ||
-5k+l | |||
o |
(k |
=1 lub k=l/ | |
1 |
1 |
2 | |
1 |
k |
3 |
= -2k |
k |
1 |
4 | |
k |
1 |
2 | |
1 |
1 |
3 |
3k |
1 |
k |
4 |
3k2 l 6k 3
A zatem układ nasz nie jest układem Cranii ot tylko w przypadku, gdy k=l lub k=l/4.
= k3 -3k + 2
k |
b |
1 | |
II A,) = |
1 |
k |
1 |
1 |
1 |
k |
N ulem rozwiązaniem naszego układu jest:
Warto zauważyć, że jest to "dobre” rozwiązanie tylko w przypadku gdy k^l i 1/4.
_ -2k2 +7k-5 4k2 -5k + l _ -3k2 + 6k-3 4k2 -5k + l k3 -3k + 2 S' 4k2 -5k + l
/udanie 3.
M" • i.|■■ układ równań:
2x, + x2 + x3 = 3 s Xj - x2 + 2x3 = 0 Xj + 2x2 - x3 = 1
Budujemy najpierw macierz uzupełnioną układu. I-ty wiersz tej macierzy zawiera współczynniki stojące przy zmiennych w i-tym równaniu oraz wyraz wolny tego równania. W metodzie tej liczymy rząd macierzy głównej i uzupełnionej oraz stosujemy tw. Kroneckera-Capelliego. Licząc rzędy obu macierzy posłużymy się macierzą uzupełnioną (która zawiera macierz główną układu) przyjmując zasadę, że w pierwszej kolejności tworzymy we/ctory bazowe w kolumnach macierzy głównej.
1 j |
I | 3" |
~ 2 |
1 |
11 |
3" | |
1 1 |
2 | 0 |
W2:“ w2 + W, ~ |
3 |
0 |
3 | |
3 |
2 i |
1 i1 |
W3: — w3 -2w, |
_-3 |
0 |
-3 |
-5 |
H
w,:= w, - w.
w,:= w 3 +3w;