Dziawgo; Układy równań z wieloma niewiadomymi 5

N2 I Iklihly równań . wieloma niewiadomymi (ed.)

x, = -10 + 5s < x₂ = -15 + 7s x₃ — s

Odp. Dla a = 1 układ jest nieoznaczony, b) a = -5

"3	-2	5 !	0"	w j.= w, -3w3
2	5	-3 i	-5	^w2^; — w2 - 2w3
1	-1	2	5

“0	1	-i !	-15'		'0	1	-7 !	-15"
0	7	-7	-15	^W2^:“ W2 - 7\V[ ~	0	0	o i	90
1	-1	2 J	5	w3:= w3 + w,	1	0	1	-10

Odp. Dla a = —5 układ jest sprzeczny.

Zadanie 2.

Rozwiąż układ równań z parametrem:

axj + x₂ + x₃ + ax₄ = a •< Xj + ax₂ + ax₃ + x₄ = 1 ax_t + x₂ + ax₃ + x₄ = 1

Rozwiązanie:

		a	1	j 1 a |	a
U	=	1	a	ja 1 |	1	^W2^:“	w2 - aw
		a	1	ja 1 j	1_	^w3:-	w3 - w,
		a		1 . 1		a	! a
~	1-	-a^2		0 0	1-a^2		j 1-a^2
		0		0 a-l		1 - a	j 1-a

(1)

Patrząc na drugi wiersz widzim\ że można go uprościć dzieląc pnMl 1-a². Możliwe to będzie tylko wtedy, gdy l-a²^0. Zatem musimy najpierw rozważyć przypadek, gdy a=-l i a 1

a) a = 1

Nasza macierz przyjmie postać:

	"l	1	1	1	! f
(1)	0	0	0	0	! o
	0	0	0	0	! o

Zatem rz(A)=rz(U)=l. Ponieważ mann 4 zmienne to rozwiązanie będzie :a wierać 3 parametry.

1 - t - s - u

u

..... I

Mii. .i macierz przyjmie postać:

1	1		1	- 1	- i
0	0		0	0	0		~
0	0		- 2	2	2 _	w,:=tW5
1	1	1	-1	! -f	w,: =	W, -w,	'-1	1	0	o !	0
0	0	0	0	j 0		~	0	0	0	o	0
0	0	1	-1	! -i			0	0	1	-i i	-i

uli m rz(A)=rz(U)=2. Układ jest nieoznaczony.

x, =t x₂ = t

<

x₃ = -1 + s X₄ = s

' • I a a ^ -1

i l.r. a macierz przyjmie postać:

a	1	1	a	a
1 a^2	0	0	1-a^2	1-a^2	^w2^:= w2^:(^1_a^2)
0	0	a-l	1 - a	1-a	w3:= w3:(a-l)

a	1	1	a	a	w,: — Wj — w3
1	0	0	1	1
0	0	1	-1	-1

a	1	0	a + 1	| a + 1"	Wj:= w, - aw2
1	0	0	1	1 j 1
0	0	1	-1	i -1