Układy równań liniowych
3

116 Układy równań liniowych

4.3

Stosując wzór Crarnera obliczyć niewiadomą y z podanych układów równań:

a)

b)

3x +    7y    +    2z + 4f = 0

2 y    +    z    =0

x +    4 y    +    z    =1

5x +    3y    +    2z    =0

x +    3y    +    3z    4-    3t    =    1

3x +    y    +    3z    +    3t    =    1

3x +    3y    +    z    +    3t    =    1

3x 4-    3y    4-    3z    +    t    =    1

c)x + 2y — 4 = 3y + 4z — 6 = 5z + 6s = 7s + 8it = x4-y + z + .s-rt — 2 = 0.

4.4

Rozwiązać podane układy równań metodą macierzy odwrotnej:

a)

2x - y = 3 3x + y = 2

b)

x + y + z = 5 2x + 2y + 2 = 3 3x + 2y + 2 = 1

c)

d)

x + y + 2 =    4

2x — 3y + 52 = —5 ; —x +2 y — z =    2

y + z + t = 4

X    “h Z “h t ⁼ —1

x 4- y + t =    2

x + y + z = —2

4.5

Znaleźć rzędy podanych macierzy wskazując niezerowe minory maksymalnych stopni:

1 3 5

a)

c)

e)

2 3 4 2 0 4

-1 1 0 5 -2 -3

10 10 10 1 15 10 16 1 10 17 10 1 18 10 19 1 10 10 10 1

4.6

b)

d)

0

2 2 1 -10 3

1 2 2 1 4 5 1 3

3

-2

4 4

11    2    0    0

21-100 4    3    3    0    0

0    0    0    7    5

0    0    0    1    6

Wykonując operacje elementarne na wierszach lub kolumnach podanych macierzy obliczyć ich rzędy:

^a)

1-3    2 12

2    1-13 1

4 -5    3 5 6

b)

-2    1-3    1 -5

45 15 30 -60 75 53    2-8    7

4.7

Sprowadzając podane macierze do postaci schodkowej wyznaczyć ich rzędy:

						4	1	2	5
1	2	3	1	5 '		0	1	3	4
0	4	7	1	2	; b)	4	4	7	13
1	2	3	4	6		4	1	-2	1
-1	-2	-3	5	-3		8	5	5	14
						-4	-1	2	-1

c) A = [tty] jest- macierzą wymiaru 5x7, gdzie a_i7 = i+j dla 1 < i < 5,1 < j < 7;

d) B = [6y] jest macierzą wymiaru 6x6, gdzie = i²j dla 1 < i,j < 6.

c)

1	6 2	r
1	4 2	2
1	3 1	3	ł
1	2 1	4
4	1	1	1	1
1	-4	1	1	1
1	1	-4	1	1
1	1	1	-4	1
1	1	1	1	-4

d)

12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12    ^;

13 14 15 16

1	'i	1	1	0	0	0	0'
	3	2	2	1	0	0	0
; f*)	5	3	2	2	1	0	0
	5	2	1	2	1	1	0
	3	1	0	1	0	1	0
	1	0	0	0	0	0	1

4.8

Znaleźć rzędy podanych macierzy w zależności od parametru rzeczywistego p:

^a)

1    1    p

3 p 3

2p 2 2

b)

1    p    2

1 -2    7 + p ;

1 2 + 2p -3 - p

v-	1 p-1		1	1
1	p^2 - 1		1	p-1
1	P-1		v-	1 1
V	-P	1	~p'
-2	2 -2		2
3	P	3	P	>
P	1	P	1

d)

f*)

111 p

ii p p ;

i p p p

' p²    4    4    4    4

p²    2p    4    4    4

p²    2p    2|p|    4    4

p²    2p    2|p|    2^P    4

4.9

podanych układach równań liniowych określić (nie rozwiązując ich) liczby rozwiązań oraz parametrów:

( 2x - y =    3

I x + y = 4 ] 4x + Sy = 11 ’ ( x + 4y = 10

{x + y + z = l x + 2y + 3z = 1 . 2x + 3y -I- 4z = 2 3x + 2 y + z = 3