54876

> TwierdzenieC .'ranieni

Jeżeli macierz podstawowa A = [al,a2,...,an] układy u równań z n niewiadomymi jest macierzą nieosobliwą , to istnieje dokładnie jedno rozwiązanie tego układu określone wzorami Cramera:

det(ai,a2,...,a>-i,b,ai+i,...,an) .    . .

Xj=-, i = 1,2.....n

dct(ai,a2,...,an)

lub w postaci macierzowej: x = A ¹ b • Dowód:

Jeżeli det A * 0, to istnieje macierz odwrotna A Mnożąc lewostronnie obie strony równama Ax = b przez macierz odwrotną A ¹ , otrzymujemy AA 'x = A ¹ b, a stąd wynika, że x = A ¹ b. Wektor ten spełnia dane równanie , bo Ax = A(A ¹ b) = (AA ')b = Eb = b.

Aby wykazać prawdziwość wzorów Cramera, obliczamy wyznacznik macierzy

Aj = [ai,a.....ai.i,b.aj₊i.....a„] powstałej z macierzy A przed zastąpienie w niej i-tej kolumny

wektorem b (kolumną wyrazów wolnych).

det A, = det [ai,...,aj.|,b, a_i+i,...,a_n] = det fai,..., au, aiXi+...a_nx„, a_i+i,...,a„] =

= det (ai,... aj.|,aiX|, aj+i,..., a_n| + det [ai,... aj.|,a2X2, ai+i,..., a„] + ... +

+ det (aj,... a, i,a.x,, a,....... a_n] + ... + det [aj,... ai.i,a_nx_n. aj*.|_v.., a_n] =

= I wszystkie wyznaczniki poza i-tym są równe żeni bo mają kolumny proporcjonalne | =

= det (ai,... aj.|,aiXj, a*i,..., a_n) = Xjdet A, stąd przy założeniu, że det A * 0 otrzymujemy wzory Cramera.