gausa siedla

Metoda Gaussa - Seidela jest metodą iteracyjną i pozwala nam obliczyć układ n równań z n niewiadomymi Ax = b. Wektor x^u będący początkowym przybliżeniem rozwiązania układu będzie dany (zwykle przyjmuje się go jako wektor złożony z samych zer). By zastosować tą metodę należy najpierw tak zamienić kolejność równań układu, aby na głównej przekątnej były elementy różne od zera Na początku macierz współczynników A rozłożymy na sumę trzech macierzy A = L + D + U, odzie L iest macierzą w której znajdują się elementy których numer wiersza iest większy od numeru kolumny. D to macierz diagonalna z elementami tylko na głównej przekątnej, a U to macierz, w której znajdują się elementy których numery wiersza są mniejsze od numerów kolumny. Można to zapisać następująco:

	*1,2	... au	n		■ 0	0 ...	0 ■
*2,1	*2,2	... ax	n	—	*2,1	0 ...	0
■^an. 1	*«.2	- *«.	n ^J		■*o	^:2 -	0 .

■ *1.1	0	... 0 ■		■ 0	^Q\, 2 — ^Q\, n '
0	*2,2	... 0	+	0	0 ... ax n
. 0	0	••• ^an, n^m		. 0	0 ... 0 .

Następnie obliczymy macierz odwrotną do macierzy D, czyli D'¹. Otrzymamy ją po podniesieniu do potęgi -1 wszystkich wartości na głównej przekątnej macierzy.

Po tych operacjach możemy przystąpić już do iteracyjn obliczania kolejnych przybliżeń rozwiązania według następującego wzoru:

x^{n + l}=D-ⁱb-D-ⁱLx^{n + i}-D-^lUxⁿ

(indeksy n oznaczają tutaj numer iteracji)

PRZYKŁAD

Obliczymy następujący układ równań:

4xi - x₂ - 0.2x₃ + 2x₄ = 30 -1x₁ + 5x₂ - 2x₄ = 0 0.2x₁ +x₂ + 10x₃ -x₄ = -10

= b

	‘ *i '
	x2
	x3
	• Xą i

- 2x₂ - x₃ + 4x₄ = 5 Zapiszmy go teraz w postaci Ax

4	-1	-0.2	2
-1	5	0	-2
0.2	1	10	-1
0	-2	-1	4

30

0

-10

5

Podzielmy teraz macierz A na sumę macierzy

L + D + U

■	4	-1		-0.2	2	■		■ 0	■— o o o
	-1	5		0	—	2		-1 0 0 0
0.2		1		10	—	1		0.2	1 0 0
.	0	-2		-1	4			. 0	-2-1 0.
	’ 4	0	0	o ■			0	-1	-0.2 2	■
+	0	5	0	0	+		0	0	o 1 K>
	0	0	10	0			0	0	0 -1
	. 0	0	0	4 .			0	0	0 0

Obliczmy teraz macierz D'¹

"	7.5 '			0	0	0		0 '
	0			-0.2	0	0		0
	-1			0.02	0.1	0		0
a	1.25 .			0	-0.5	-0.25		0 .
	• 0 -		0.25 -0.05			0.5 '
:>	0		0	0		-0.4
	0		0	0		-0.1
	. 0		0	0		0 .

Rozpoczynamy od zerowego przybliżenia czyli

’4	0	0	0 ■		■0.25	0	0	0 ■	-1
0	5	0	0		0	0.2	0	0
0	0	10	0		0	0	0.1	0
.0	0	0	4 .	4 .	. 0 _ 4 . _	0 4 . _	0	0.25.

A teraz kolejno D'⁷ó, D'⁷Z_, D'⁷U

= 0, x₂° = 0, x₃° = 0, x₄° = 0

Obliczmy pierwszą iterację metody, według przytoczonego na początku wzoru:

x₁¹ = 7,5 + 0,25X2° ⁺ 0,05x₃° - 0,5x₄°

Xi¹ = 7,5 x₂¹ =0 + 0,2x₁¹ + 0,4x₄°

*2 = 1,5

x₃¹ = -1 - 0,02x₁¹ - 0,1x₂¹ + 0,1x₄° x₃¹ =-1,30

x₄¹ = 1,25 + 0,5x₂ + 0,25x₃¹ x₄¹ = 1,675 Kolejna iteracja

x₁² = 7,5 + 0,25x₂¹ + 0,05x₃ - 0,5x₄ ’ x² = 6,9725 x² = 0 + 0,2x² + 0,4x₄¹ x₂² = 2,0645

x ² = -1 - 0,02x ² - 0,1x₂² + 0,1x₄¹ x₃² =-1,1784

x ² = 1,25 + 0,5x₂ + 0,25x₃² x₄² = 1,98765

Można teraz obliczyć kolejną iterację.

Każda z nich przybliża nas do dokładnego wyniku.