zdjecie0019

21

Definicja 1.16, Otoczeniem punktu x_oe R o promieniu r> 0 nazywa się przedział (x_Q - r, ^ ♦ r) i oznacza się C(x_o, r). Zbiór S(x_o,r)»

■ O(x_o,r) - {x_Qj nazywa się sąsiedztwem punktu x_o o promieniu r. Otoczeniem punktu    - +co nazywa 8ię dowolny przedział pooiaei (a,*® )•

Analogicznie dowolny przedział postaci (-«> ,b) nazywa się otoczeniem punktu x_o - -o> .

DcrinŁc.la '.1 ~^f. Liczb* g nazywa się grardcą *&&ściwą ciggu { a_nj , jeżeli w dowolnya otoczeniu punktu g, na o8i liczbowej, leżą prawie wszystkie yf-razy tego ciągu.

Przypomnimy również definicję granic niewłaściwych.

Dermieja i.ia.

lim a - „ n n-*<o	♦ ® <=5»	VK	^3no ^;	Vn> nc	an> M;
lim a » n n-~»	-co <—>	Vm	^3no ^:	Vn> nQ	aa^<a

Wykażemy następujące

Twierdzenie 1.4 /o jednoznaczności granicy/. Jazdy ciąg zbieżny ma tylko Jedną granicę właściwą lub niewłaściwą.

Dowód. Dla dowodu nie wprost przypuśćny, że ciąg ' ł_qj’ aa dwie granice g i g'. Jeżeli g i g' są skończone, to przyjmując, że g <g', połóżmy £ - tj- {&'- g) . Wówczas £ J> O i przedziały (g -£, g ♦ £) oraz (g, g'* £) aą rozłączne. Korzystając z definicji 1.17 w każdym x tych przedziałów leżałyby prawie wszystkie wyrazy ciągu (a^J, a to jest niemożliwe.

Jeżeli natomiast Jedna z granic g i g' Jest niewłaściwa, np. g'» ♦ co , zaś geR, to na podstawie definicji 1.18 prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od g ♦ 1. Oznacza to, że g nie może być granicą ciągu {a^j.Analogicznie otrzymuje się sprzeczność w pozostałych przypadkach, tzn. g - co , g 'e R oraz g - *co , g-co .

Dla ciągów zbieżnych do granic właściwych znane jest następujące