3 (531)

k

I ^ Różniczka i pochodna

JFunkcję f określoną w pewnym otoczeniu U(x,S) punktu x=(xi,... ,x_n) nazywamy różniczkowalną w L tym punkcie, jeżeli istnieją takie stałe a_1;... ,a_n zależne tylko od x, że:

S=5 V jAxj<S:    f(x +    + o(/Axf) , gdzie Ax=(Ax1,... ,Axn), /Ax/= J(Ax^)² + ... + (Ax_n)²

L_    ^H

f⁵⁵³ a o(/Axj) jest tzw. nieskończenie małą rzędu wyższego niż IAxj,

tzn. taką funkcją, dla której lim^    ^ p = 0.

•Z    Ć Kt vt £ j

Uwaga2

n

SumaX^a7^./ jest iloczynem skalarnym a(x)Ax wektora a= (ai,... ,a_n) przez wektor

j=¹

Ax=(Axi,... ,Ax_n). Wyrażenie to nazywamy różniczką funkcji f w punkcie x odpowiadającą

n

przyrostowi Ax i oznaczamy df(x, Ax) lub krótko df, czyli: df(x, Ax):= a(x)Ax = X ^aj^^xj.

J=1

= Twierdzenie 1

C/U Ct/

Jeżeli f: X^R, X<z$Rⁿ, jest funkcją różniczkowalną w punkcie x, to istnieje granica _?9 w*/ prawostronna w zerze funkcji q:    postaci q(x):=^f^^{x + Te}^~^^x^ gdzie e jest ^    ^

“ ustalonym wersorem przestrzeni ^sJtⁿ, granica ta jest równa iloczynowi skalarnemu wektorów a(x) i e, a więc: lim₊ ^^{X + T}?i ^fl^x) = a(x) • e

^    dla* Ą    '*^<Ł-y Ci(y| 6y ĆO    (/et ^

i **tfeU/ f ^ /A? * e / ^ &

u_( (L Łć tjOY

Uwaga 3.

Wektor a(x) nazywamy pochodną funkcji f w punkcie x i oznaczamy fwtedy różniczkę funkcji f zapisujemy w postaci: df(x,Ax)=f '(x)dx.

Uwaga 4.

, e -w * u ^

Granicę występującą w tezie twierdzenia 1 nazywamy pochodną kierunkową funkcji f i oznaczamy

df    df

symbolem —, czyli: — (x)=f '(x)*e.

de    de

MAT2 Mechatronika Jan Nawrocki 3