5 (407)

Twierdzenie 2.

Jeżeli funkcja f: X- >'.R, Xci5Rⁿ posiada w pewnym otoczeniu punktu x wszystkie pochodne cząstkowe i|pochodne te są ciągły w tym punkcie, to funkcja ta jest różniczkowalna w tym punkcie.

Pochodna kierunkowa —(x)=grad f e charakteryzuje prędkość zmiany funkcji w punkcie x

de

w kierunku wektora e.    .    _{u ul tJUZg}^^

lcA-5"'^u /

/»

Oznaczając przez y kąt między wersorem e a pochodną gradf mamy:

\

— (X) =|gradf(x)|cosy. de

Wynika stąd, że gdy y =0, to:

w# X

|gradf(x)|= sup

yel"—

L 2 2.

df

de

tak więc gradient funkcji w punkcie wskazuje kierunek największego wzrostu tej funkcji.

Przykład 4.

Obliczyć f '(x,y), jeżeli f(x,y)=x^y.

dj _r    ^ Z teł'* )<* Co > ^<_S|

X

MAT2 Mechatronika Jan Nawrocki