98594

Jeżeli funkcje f i 9 spełniają warunki L są ciągłe na 2 maja pochodne w (a,b),

3. g(*) * 0 dla każdego x e (a, 6),

f'(c) _ f(b) - f(a)

to istnieje punkt ce (a,b) taki, że —7TT ^— —77T-TT •

9{c)    g(b)-g(a)

cua nieoznaczoności

Twierdzenie 6.5 (reguła de PHospitala Niech

L funkcje — i ^7 będą określone w sąsiedztwie S(a) 2 lim f(x) = limg(x) = 0

x-*a    x-»o    ’

f (*)

2 istnieje granica nm —r~.

£7 (*)

Wtedy

f(x)__1:_ roo

lim-= lim—;—

*-*• g(x) *-*• g (x) *

Uwaga

Powyższe twierdzenie jest prawdziwe także dla granic jednostronnych w punkcie O oraz dla granic w — ⁰⁰ i w + oo .

Przykłady
	sinx ^11 cosx
lim	-= lim-
*-♦0	x 1
lim	e^x -1 « e*
xiO	x *-*o 1
	x^2 -4 ^H , 2x
lim	-= lim — =
x—»2	x —2 * * 1

Twierdzenie 6.5 (reguła de PHospitala dla nieoznaczoności CtJ ) Niech

1. funkcje ^ i -A będą określone w sąsiedztwie 5(0),

2 lira f(x) = ±«>,    limg(x) = ±oo

x-*a    x-»o    *

.. rw

3. istnieje granica "m——-.

*-*> g (*)

Wtedy

Uwaga

Powyższe twierdzenie jest prawdziwe także dla granic jednostronnych w punkcie O oraz dla granic w — oo i w + oo .