6830718831

Twierdzenie 7.4 (Istnienie i jednoznaczność rozwiązań)

Jeżeli funkcje no, ói,..., a_n-i,q są ciągle na przedziale (a, b) oraz

xo £ (a. b). in £ 7v. to zagadnienie początkowe (L_n) (WL_n) ma dokładnie jedno rozwiązanie. Rozwiązanie to określone jest na przedziale (a, b).

Przykład 7.11 Uzasadnić, że jedynym rozwiązaniem zagadnienia Cauchy 'ego: y⁽ⁿ⁾ -1=0, y^{k){0) = c_k, k = 0,1,... ,n - 1

jest wielomian y{x) = ffr +

Ort — 1 X

+

Cn-ąg'

(n—2)1

4 . ..+ClX + Co.

7.5 Równania różniczkowe liniowe jednorodne Definicja 7.8

Równaniem różniczkowym liniowym jednorodnym, nazywamy równanie (L_n) jeśli funkcja q(x) = 0. Równanie to oznaczymy (LJ_n).

y^{n'^> + a„-i(r)y/"^_J) 4- a_n_₂(x) y^(r'~²⁾ + ... 4- a₀(x) y = 0    (U„)

Twierdzenie 7.5

Rozwiązania równania (LJ_n) tworzą przestrzeń liniową.

Dowód:

Niech, funkcje <f>\, tfo spełniają równanie (LJ„). Wystarczy pokazać, że dla dowolnych stałych q, fi G V- funkcja o ói(x) + /? (j)2{^x) również spełnia równanie (LJ„):

(&4ifa)+-042&))^W + a_n-i(x)(a<ki(x)+fi<ki(x))^ⁿ~¹⁾+--- + a₀(_!x){a<j>i(x)+l3fote:)) =

Q‘(<Pl(x))⁽ⁿ⁾ -f Ón_i(x) ói(.r))^(r,-1) 4 ... + Oq(x) d>i(x))+

+(3 (Ó2(x))^(n> 4- a„-i (x) Ó2(x)^(r,-1) 4-... 4- ao(x) tfz(aj)) = 0

Wykazaliśmy, że kombinacja liniowa dowolnych dwóch rozwiązań równania (LJ„) jest również rozwiązaniem tego równania.

Uwaga 7.3 Zbiór funkcji, określonych na wspólnej dziedzinie jest przestrzenią liniową. Funkcje będące rozwiązaniami równania (L.J_n) tworzą podprzestrzeń.

Przypomnijmy definicję liniowej niezależności, i zależności elementów przestrzeni, liniowej (wektorów):

Definicja 7.9 (Liniowa zależność i niezależność funkcji)

Funkcje g\, y₂.....g_n ^S(l liniowo niezależne, jeżeli z tożsamości.

rti gi(x) + 02 Q2(x) 4 ... + a_n9n(x) = 0 na przedziale (a. b)

wynikają równości:

Ol = 0₂ = • • • = Ofn = 0

Jeżeli istnieją liczby rzeczywiste oą, ag, ...,a„, o² 4 o² 4 .... a² > 0 takie, że ati fji(x) 4 0*2.92(x) 4 .• •.o,ig_n{%) = 0 to funkcje gi,g2,...,g_n nazywamy liniowo zależnymi.

51