sciaga8

Twierdzenie* 5.1.17 (Cauchy'ego)

Jeżeli funkcje / i g spełniają warunki:

1.    są ciągłe na [a. 6],

2.    mają pochodne właściwe lub niewłaściwe na (a, b),

3.    ę'(^x)    0 dla każdego x € (a,i>),

to istnieje punkt c€ (a. 6) taki. że

m    m - /(o)

g'(c)    g(6) - g(a)

Twierdzenie 5.2.1 (reguła de L^łospitala* dla nieoznaczoności Jeżeli funkcje / i g spełniają warunki:

1.    lim f(x) = lim g(x) = 0. przy czym y(x) jt 0 dla x € S(xo),

*—x.    X — *0

2.    istnieje granica lim ^(właściwa lub niewłaściwa),

x-x₀ g (x)

to

„_m m. „_m m

x-x₀ g(x) x-x„ j'(x)

Nieoznaczoność	Stosowana tożsamość	Otrzymana nieoznaczoność
0 • oo	^,**»H i o. II es	0 , , oo - lub — 0 oo
	1 1
00-00	/-»=V f9	0 0
1°°, oo^0. 0°	ft _ et 1" /	0 ■ oo

Definicja 5.3.1 (wielomiany Taylora⁵ i Maelaunnal)

Niech funkcja / ma w punkcie Xo pochodną właściwą Jt-tcgo rzędu, gdzie * € jVu{0} Wielomian

_/(xo)+q^)_(I._Io)+qp)_(x__Io)J+...₊q£sł (,.,.)•

/(***•^ł) (0)    . /<">(c)

(n — 1)!    ⁺ n! ^ł

_/(x_)=/(0 )+m_x+rm_x,₊

Kwlocnsan Maclaunna