122633

Jeżeli funkcje f i 9 spełniają warunki L są ciągłe na 2 maja pochodne w (ci,b) _t 3. g'(x) * 0 dla każdego x e (a, b),

f\c) _ f(b) - f(a)

to istnieje punkt ce (a,b) taki, że —t~ — —---.

g(c) g(b) - g(a)

Twierdzenie 6.5 (reguła de PHospitala dla nieoznaczoności [§] ) Niech

L funkcje — i ^7 będą określone w sąsiedztwie 5(0),

2 lim f(x) = limg(x) = O

x-»a    x-*a    *

f'(x)

3. istnieje granica uni —r~.

9 (x)

Wtedy

roo

lim-= lim—;—

*-*• g(x) *-*• g (x) *

Uwaga

Powyższe twierdzenie jest prawdziwe także dla granic jednostronnych w punkcie O oraz dla granic w — ⁰⁰ i w + oo .

Przykłady
	sinx ^11 cosx
lim	-= lim-
*-♦0	x 1
lim	e^x -1 « e^x
xiO	x *-*© 1
	x^2 -4 ^H , 2x
lim	-= lim — =
x-*2	x —2 * * 1

Twierdzenie 6.5 (reguła de PHospitala dla nieoznaczoności ) Niech

1. funkcje ^ i -^7 będą określone w sąsiedztwie 5(a),

limf(x)=±«.    limrj(x) = ±oo

I-»l)    M-*ó    ’

istnieje granica Wtedy

lim

X—M

rw

9\x) '

^x-^a g(x)

= lim

x-*a

£00

3'(*) ’

Uwaga

Powyższe twierdzenie jest prawdziwe także dla granic jednostronnych w punkcie O oraz dla granic w — oo i w + oo .