227(1)

(4)

«•= 1

/

-j~dx («= 1,2,3,...)

o

Jeśli funkcja f(x), spełniająca warunki Dirichleta, jest funkcją okresową, to na całej osi liczbowej szereg Fouriera dla tej funkcji w punktach ciągłości funkcji jest zbieżny do samej funkcji, a w punktach nieciągłości jest zbieżny do średniej arytmetycznej granic jednostronnych w tym punkcie.

Funkcję f(x), daną w przedziale [0, /] można w dowolny sposób przedłużyć na sąsiedni przedział [—/, 0), a tym samym można ją przedstawić za pomocą różnych szeregów Fouriera. Zwykle funkcję taką przedstawiamy niepełnym szeregiem Fouriera, zawierającym albo same cosinusy, albo same sinusy.

Szereg zawierający tylko cosinusy otrzymujemy przy parzystym przedłużaniu danej funkcji na sąsiadujący z lewej strony przedział [—/, 0), a szereg z sinusami — przy przedłużeniu nieparzystym. W pierwszym przypadku

/

IZ

s

\

\

/

/

ł

X

Rys. 207

wykres danej funkcji przedłuża się na przedział [—/, 0) symetrycznie względem osi rzędnych, a w drugim przypadku — symetrycznie względem początku układu współrzędnych (rys. 207a, b).

Za pomocą wzorów Eulera (patrz § 6) otrzymuje się (wygodną w wielu przypadkach) zespoloną postać szeregu Fouriera

+ <*>    innx

f(x) = 2 c„e ‘

r,~ — oo

gdzie

*    inny

= i f(^x)^e ‘ ^dx    (⁵)

-i

Jeżeli funkcję f(x) w różnych częściach przedziału [—/, /] określają różne wzory, to przy rozwijaniu jej w szereg Fouriera w celu obliczania współczynników, czyli całek we wzorach (2) lub (5), przedział całkowania należy podzielić na części za pomocą punktów, w których wyrażenie analityczne funkcji ulega zmianie, a następnie całki te obliczyć jako sumę całek po częściach składowych.

Przy rozwijaniu w szereg Fouriera funkcji f(x) w przedziale [0, 2F] granicami całek we wzorach (2) lub (5) będą 0 i 21, a w przypadku dowolnego przedziału [a, b] o długości 21 granicami będą a i a-\-2I.

1040. Rozwinąć dane funkcje w szereg Fouriera w podanych obok

przedziałach:

v    (6 dla 0 < x < 2

1) f (x) = -₂ ; (0, 2n)    2)y= |_{3jf dla 2} < _x < 4

3) y>(x) = e~^x; (—n, n)    4) u = |sinx]; [—n,ń\

W przykładzie 4) korzystając z otrzymanego wyniku znaleźć sumę 5 szeregu

iii    1

1 . 3 ⁺ 3 • 5 ⁺yi 7 ⁺    * (2fc— 1)(2A+1)

Rozwiązanie. Najpierw sprawdzamy, czy dana funkcja we wskazanym przedziale spełnia warunki Dirichleta. Następnie ze wzorów Fouriera obliczamy współczynniki a_n i b„ (lub c„) i podstawiając je do szeregu (1) (lub do (5)), otrzymujemy szukane rozwinięcie funkcji w szereg Fouriera. Wreszcie, na podstawie tw ierdzenia Dirichleta, badamy', dla jakich wartości * otrzymany szereg rzeczywiście jest zbieżny do danej funkcji.

1) Dana funkcja nie jest funkcją parzystą ani też funkcją nieparzystą, więc jej w spółczynniki obliczymy z ogólnych wzorów' (2), w których podsta-

457