DSCN1115 (2)

Funkcją spełniającą warunki zadania jest na przykład funkcja I f określona wzorem /(x) = x³-2x.

2.50.    Dla takich a, b, dla których a b^—4.

2.51.    Wskazówka. Rozpatrujemy funkcję/ określoną wzorem f(x) = e*“¹ — x i wykazujemy, że / przyjmuje tylko wartości I nieujemne, czyli

(*) e*"¹ ^ x dla każdego xeR.

Niech a,. a₂.....a_n będą liczbami nieujemnymi takimi, że I

n    l r u ^ai + ^a2 +    + ^an

a, • a₂ •... • fl, # 0. Oznaczmy przez b liczbę —-=-—.

n

Wówczas, na podstawie nierówności (*), otrzymujemy n nierów- I ności postaci:

Po wymnożeniu powyższych nierówności stronami otrzymamy nierówność

_f a,’a₂^,...^,a_n    ...

I ^-tjj-, z której wynika teza.

§ 3. Rozwiązania i odpowiedzi

3.1. Zamiast dowodu indukcyjnego przedstawiamy następujący szkic dowodu.

Dla n = 1 nierówność jest prawdziwa, zaś dla n > 1 jest > 1, czyli

(1)    = 1 + x, gdzie xeR₊.

Stąd też

(7^)" = (i +*)",

^

n = T>yw)" = 1 + nx + —-—-x² +... + x".

Z powyższej równości otrzymujemy n(n — 1) ₂ n > 1 + ~2—~^X '

(odrzucone składniki prawej strony są dodatnie). Przekształcając dalej powyższą nierówność otrzymujemy

12

x<\/-. n

(2) x² <-, skąd n

Uwzględniając nierówność (2) w równości (1) otrzymujemy

A ^<i+ II,

neN ^    y n

co kończy dowód.

3.2. Wskazówka. n² + n - 1    1

(n + 1)!    (n-1)! (n + 1)! *

więc

_1    5    11

2! ⁺ 3! ⁺ 4! ⁺‘" ⁺

hMi*+-+

(n + 1)! lof 2!¹

i m 1! 3!^,+

(n+1)!

= 2-

1

-7 +

(n-1)! (n + 1)! I

-i i_I

~0! ⁺ l! nl

(n + 1)!

<2.

3.3. Korzystając z nierówności między średnią arytmetyczną i geometryczną liczb (patrz zad. 1.11)

.12 3    n-1

r 5* 5’ ~ ’ T'^mamy:

87