DSCN1151

w

Rys. S.62

5.63. Załóżmy, że prosta k, spełniająca warunki zadania, przecina boki AC i BC trójkąta ABC odpowiednio w punktach K i L Niech 0 będzie środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ABC, zaś r długością promienia tego okręgu (rys. 5.63). Wtedy pole S, pięciokąta A KOLB równa się liczbie

Podobnie pole S₂ czworokąta CKOL równa się liczbie

^QKq + |LC|).

Ponieważ |AB| + |/1K| + |BL| = |KC| + |LC|, więc S, = S₂.

Z drugiej strony pole S₃ czworokąta ABLK równa się polu S₄ trójkąta Kf.C. Ale S₃ = Si + S^jcol, ^a ⁼ ^2    ^kol,

A

c

B

Stąd    — S₂ — S^kol.

Wykorzystując równość S, = S₂ otrzymujemy: S„_K0L = 0.

\KOL

To zaś oznacza, że OeKL, co należało wykazać.

Rys. 5.63

§ 6. Rozwiązania i odpowiedzi

Uwagi do rozwiązywania zadań konstrukcyjnych

W rozwiązywaniu każdego zadania konstrukcyjnego można wyróżnić cztery etapy, a mianowicie:

1)    Analiza zadania

Na tym etapie poszukujemy metody konstrukcji figury spełniającej warunki zadania. W tym celu szkicujemy (na ogół odręcznie) poszukiwaną figurę i zaznaczamy na rysunku dane. Następnie analizujemy związki między danymi elementami poszukiwanej figury a innymi elementami: wyszukujemy wśród nich te związki, które mogą być podstawą do wykonania konstrukcji. Odwołujemy się przy tym często do definicji, aksjomatów i poznanych już twierdzeń.

2)    Konstrukcja i jej opis

Po ustaleniu metody konstrukcji poszukiwanej figury przystępujemy do dokładnego jej wykonania, a następnie podajemy opis, jak została wykonana.

3)    Dowód poprawności rozwiązania

W części tej wykazujemy, że każda figura zbudowana według podanego opisu konstrukcji spełnia warunki zadania.

4)    Dyskusja rozwiązania

Badamy liczbę rozwiązań zadania, a więc odpowiadamy na pytania, jakie warunki muszą spełniać dane, aby istniała figura będąca rozwiązaniem zadania, oraz ustalamy ile różnych figur (ile rozwiązań) możemy otrzymać z tych samych danych spełniających warunki zadania.

Ze zrozumiałych względów w paragrafie tym będziemy ograniczać się tylko do podawania pewnych elementów, które ułatwią rozwiązanie zadania.

6.1. Wskazówka. Niech danymi punktami będą punkty A, B, C, gdzie \AC\ = d,, \BQ = | \AB\ = d₃.

Oznaczając długości, promieni szukanych okręgów przez r,, r₂, r₃ mamy:    (rys. 6.1)

I

r, +r₂= d_x

Ti + /*₃ = d₂

r₂ + t₃ = d₃,

159