DSCN1154 (2)

6.10. Wskaż ówka. Przypuśćmy, że szukaną prostą jest prosta k (rys. 6.10). Narysujemy okrąg styczny do prostej k i półprostych będących przedłużeniami boków AB i AC trójkąta ABC. Niech punktami styczności będą punkty K. L, M. Łatwo wykazać, że |KB| | \BM\ i |CM| = |CL|.

Stąd \MB\ + \MC\ = |A.'ił| + ICL|, więc \AK\ + \AL\ — m.Z drugiej strony \AK\ = \AL\, czyli \AK\ = \AL\ — -m, a ostatnia równość sugeruje sposób rozwiązania zadania.

6.11.    Wskazówka.

1)    Znajdujemy punkty P' i P" symetryczne do P względem ramion kąta.

2)    Znajdujemy punkty A, B, w których prosta PP" przecina ramiona danego kąta.

Szukanym trójkątem jest A APB. Obwód każdego innego trójkąta rodziny Tjest równy długości łamanej FABP".

Jeśli kąt a jest ostry, to zadanie ma jedno rozwiązanie. Jeśli a jest kątem prostym lub rozwartym, zadanie nie ma rozwiązania.

6.12.    Wskazówka. Załóżmy, że został skonstruowany trójkąt spełniający warunki zadania. Wtedy to

m² + d² — c²

cos \-£BDA\ =--—--,

2md

cos\<CDA\ = — — fj-——, gdzie c = \AB\, b = \AC\,

2 na

skąd

m² + d¹ — c² _ b² — n² — d² ' ' m    n

Ale na podstawie twierdzenia o dwusiecznej kąta wewnętrznego trójkąta mamy c = —, więc równość (1) po przekształceniach

przyjmuje postać b² d² + mn

n

.nd²

, skąd b i

-    , I dUjn-m

Jeśli — oznaczymy przez x , to x = —-

m    m

i z l    nr~.—;

-,zasb = y/x² + n²,

a to już sugeruje rozwiązanie zadania.

6.13. Wskazówka. Z twierdzenia sinusów wynika, że

*=JlI

2 sina

Zatem znamy długość promienia okręgu opisanego na trójkącie ABC, możemy więc ten okrąg skonstruować (jego środek jest punktem wspólnym symetralnej boku AB i okręgu o(A, R)). Niech E będzie punktem wspólnym dwusiecznej CD i narysowanego okręgu (rys. 6.13). Wówczas E jest środkiem łuku AB natomiast średnica, której jednym z końców jest E, przędna bok AB w jego środku F. Oznaczmy drugi koniec tej średnicy przez G. Ponieważ AFDE ~ ACEG. więc \ED\    2 R

\EF\ czyli

⁽¹⁾-= . m d

d + \ED\ ’ 2 R

gdzie x = \ED\, m = \EF\

r* .    .....    — d + ^/d² + SRm

Z rownosci (1) otrzymujemy x =-^-> ^a znając

długość odcinka ED możemy znaleźć punkt D, a następnie punkt C.

6.14. Załóżmy, że zbudowaliśmy żądany trójkąt i, że jest nim AABC. gdzie | <ACB\ = 90° (rys. 6.14). Niech IBD\ = d oraz jABj = c.

16S