DSCN1114 (2)

Łatwo jest uzasadnić, że szukaną parą jest

Mli

y = ±, t_Zn./((%A-*5⁾) = V^/2.

2.43.    Wskazówka. Rozumowanie analogiczne jak w zadaniu 2.42

0    d p. Dla x - -y/l, y == —funkcja osiąga najmniejszą

y/2

wartość —y/2.

2.44.    Wskazówka. Wzór danej funkcji po przekształceniach ma postać

/(x) = 3cos⁴x — 3cos²x + 1.

Przyjmując cos²x = f, otrzymujemy /(£) = 3f² - 3f + 1 dla £e<0;l>.

Odp. Najmniejszą wartość funkcji / w przedziale <0;-> jest

1    . . , ² a największą 1.

2.45. Wskazówka. Z warunku/’(x) = f’(x — 1) wynika, że

(1)    /(x) = f(x — 1) = c, gdzie ceR.

Ale

(2)    /(x) +/(x — 1) = x, (warunek zadania) więc z (1) i (2) mamy

1 c

f(x) = -x + - dla xeR.

Łatwo już wykazać, że szukany wzór funkcji /ma postać

2.46. Wskazówka. Należy zauważyć, że dla s =£ 0 i x₀ € R, mamy: /'(*„ _{+ s)}= + — ₌

fc-o    n

(oczywiście Czytelnik uzasadni poprawność rozumowania).

2.47.    Wskazówka.

a)    Dana funkcja nie jest różniczkowalna w punktach x = 0 i x = 1.

b)    Wzór danej funkcji możemy zapisać następująco:

f —2xe^x+l dla x€(-oo;-l),

/(*)=< —2xe“^(x+,) dla xe<—1;0), l 2xe"^(x+,) dla xe<0;oo).

Rozpatrzmy funkcję dla xe(-oo; 1) i zauważmy najpierw, że funkcja e^{x +1} jest założeniem funkcji g{u) = c^u i h(x) — x + 1.

Ponieważ dla każdego ueR istnieje pochodna g’{u) oraz dla każdego xeR istnieje pochodna h’(x), więc istnieje pochodna funkcji e^x+1 = g{h{x)) dla każdego x z rozpatrywanego przedziału, przy tym

f(^e*⁺¹)’ = g'{h(x))‘h’(x) = e^x+1 l(-2xe^x+1)’= -2e^x+l (x + l), więc funkcja /jest różniczkowalna w przedziale (-co; -1). Podobnie stwierdzamy, że dana funkcja jest różniczkowalna w przedziale (—1; 0) oraz w przedziale (0; oo). Natomiast nie jest różniczkowalna w punktach —1 i 0, co łatwo wykazać wyznaczając pochodne jednostronne w danych punktach.

2.48.    Najpierw obliczamy /(O). Mamy: /(O + 0) = /(O) + /(O) + 1.

Stąd/(O) = -1

Ponieważ x + (—x) = 0, więc

1)    /[x 4- (—x)] = /(0) = — 1, dla każdego xe R; z drugiej strony

/[* + (—x)] =/(x) +/(-x) - 2x²(2x² - 3x² + 2x²) + 1, czyli

2)    /[x + (-x)]=/(x)+/(-x)-2x* + l.

Porównując 1) i 2) otrzymujemy równość

3)    /(x) + /(—x) — 2x⁴ + 1 = -1, dla każdego xeR.

Z założenia, że /jest funkcją parzystą i z 3) otrzymujemy:

2/(x) = 2x⁴ - 2, stąd /(x) — x⁴ 1.

2.49.    Wskazówka. Najpierw obliczyć/(0). Następnie skorzystać z tego, że/(x) =/[0 - (-x)] =/(0) -/(-x).

85