9414912654

81

© MIM UW, 2011 /12

Jeśli fi spełnia warunki (i)—(iv), to n(A) < n(B) dla A C B C R. Dlatego

3 = m([-1,2]) >h(W) = J U (t + V))

'teQn[-i,i]

® E v(t + V)^tSi_i(V)+n(V)+n(V)+--t€Qn[-i,i]

Gdyby fi(V) > 0, to prawa strona byłaby nieskończona. Otrzymujemy więc /z(P) = 0, stąd zaś ii(W) = 0 + 0 + • • • = 0.

Z drugiej strony, zbiór W zawiera cały przedział [0,1]. Istotnie, niech x G [0,1] będzie dowolną liczbą. Wybierzmy v G V tak, aby x ~ v; jest to możliwe, gdyż zbiór V zawiera reprezentanta każdej klasy abstrakcji. Wtedy t = x—v G Qfi[—1,1] i x = t+v G t+V C W. Zatem

l = /*([0,1])<#) = 0.

Ta sprzeczność dowodzi, że nie istnieje funkcja n, spełniająca warunki (iMiv). □

W przestrzeni M³ nawet rezygnacja z przeliczalnej addytywności na rzecz skończonej addytywności nie pomaga: jak udowodnili Banach i Tarski, kulę jednostkową w R³ można podzielić na pięć (parami rozłącznych) zbiorów A,;, 1 < i < 5, a następnie wskazać pięć izometrii 1 < i < 5, przestrzeni R³ takich, że

1) =0l(^l)U02(A2)U03(A3) = 54(^4) Ug5(A₅),

gdzie każda z dwóch sum jest sumą zbiorów parami rozłącznych. Gdyby więc istniała skończenie addytywna funkcja nieujemna fi, określona na wszystkich podzbiorach R³ i niezmiennicza ze względu na izometrie, to mielibyśmy

5    5

MB(0,1)) = E M = E Mffi(A)) = 2_/1(JJ(0,1)).

(Konstrukcja takiego paradoksalnego rozkładu kuli wykorzystuje, prócz aksjomatu wyboru, fakt, że składanie obrotów w R³ nie jest przemienne, a grupa obrotów zawiera podgrupę wolną o dwóch generatorach.)

Podobne przykłady wskazują, że jakieś ograniczenie klasy zbiorów, dla których będziemy określać miarę, jest rzeczą konieczną.

4.1 Podstawowe pojęcia. Twierdzenie Caratheodory’ego

Niech X będzie dowolnym zbiorem. Będziemy używać oznaczenia [0, +00] = [0, +00) U {+00} = R+ U {0, +00}.

Definicja 4.2 (ciało i <r-ciało zbiorów). Powiemy, że rodzina zbiorów C 2^X jest ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy

(i)    0 G

(ii)    Jeśli A G &, to także X\Ag-?;