9414912661

87

© MIM UW, 2011/12

Definicja 4.14. Niech p* będzie miarą zewnętrzną na X. Każdy zbiór Ac X spełniający warunek Caratheodory’ego, nazywamy zbiorem //‘-mierzalnym, a a-ciało &, o którym mowa w Twierdzeniu 4.12, oznaczamy ^(//*).

Definicja 4.15. Niech (X, g) będzie przestrzenią metryczną. Powiemy, że miara zewnętrzna p*: 2^X —> [0, +00] jest miarą zewnętrzną metryczną, jeśli

p*(A U B) = p*(A) + p*(B)

dla wszystkich A,BcX, których odstęp dist (A, B) > 0, gdzie

dist (A, B) = inf (dist (x, B)), dist (x, B) = inf g(x,y). xeA    y€B

Twierdzenie 4.16. Niech (X, g) będzie przestrzenią metryczną, zaś p* - miarą zewnętrzną metryczną na X. Wówczas o-ciało zbiorów borelowskich 3S(X) jest zawarte w o-ciele &(p*).

Dowód. Z uwagi na definicję A3(X), wystarczy wykazać, że każdy zbiór otwarty fi C X należy do & (p*).

Ustalmy zbiór otwarty fi C X i niech

dla m = 1,2,____

fl_m = {x e fl: g(x, x\n)>-} t    m >

Wtedy dist (fl_m, X \ fl) > ^ > 0. Dalej, niech

| dla m — 2,3,____

dla m — 1,2,...,    (4.9)

P_m = (x eSJ: i < g(x, A'\Si) < A— i    m    m — 1

Zauważmy, że

U \ fIm ■ Pm+1 U Pm+2 U -Frn+3 U ...

a ponadto

dist {Pi, P,) >4 — ——    dla i>j + l,j>2    (4.10)

3    * — 1

(to nietrudny wniosek z nierówności trójkąta). Aby sprawdzić, że zbiór fł spełnia warunek Caratheodory’ego, weźmy dowolny zbiór Z c X. Wystarczy wykazać, że

p*(z) >p*(znn) + p*(z\n).    (4.11)

Jak widać, bez zmiany ogólności możemy przyjąć, że p*{Z) < oo. Ponieważ p* jest miarą zewnętrzną metryczną, więc na mocy (4.10) otrzymujemy

jji/izn P_2J-1) = ii ‘(z n (Pi u P₃ u... u P_2m-1)) < if(z)

oraz

y] p*{z n P2j) = p*(z n (P2 u P4 u... u Pim)) < h*{Z) ■