9414912648

93

© MIM UW, 2011 /12

Dla dostatecznie dużego k każdy z przedziałów Pj ma średnicę mniejszą niż d/2, więc jest zawarty w którymś z przedziałów R\,..., Rpj. Dlatego

m    N ,    X    N

TOl (P) = E VOl W) £ £ E ™l (Pi) < E Vol W < MP) + 5-

i=j    i= 1 ^V{i: P,CRi}    ⁷    i= 1

Przechodząc do granicy e —» 0, uzyskujemy nierówność vol (P) < A_n(P). □

Stwierdzenie 4.30. DZa każdego zbioru A € Jź?(Rⁿ) i każdego x € Mⁿ zbiór x + A jest mierzalny w sensie Lebesgue’a i \_n{x + A) = A_n(^4).

Dowód. Mierzalność x + A uzyskujemy, korzystając z Twierdzenia 4.26. Równość miar obu zbiorów łatwo wynika stąd, że objętość przedziału jest niezmiennicza ze względu na przesunięcia. Przesuwając każdy element pokrycia zbioru A o wektor x, uzyskamy pokrycie zbioru x + A; stąd wynika, że A_n(ar + A) < A_n(_J4), a ponieważ A — -x + (x + A), to zachodzi także nierówność przeciwna. □

Wykażemy teraz, że niezmienniczość ze względu na przesunięcia charakteryzuje miarę Lebesgue’a z dokładnością do stałego czynnika. Ta charakteryzacja pozwoli nam później wyjaśnić, jak zmienia się miara Lebesgue’a, gdy zbiory mierzalne poddajemy przekształceniom liniowym (skądinąd, ta własność miary jest kluczem do wielowymiarowego twierdzenia o zamianie zmiennych w całce).

Twierdzenie 4.31. Załóżmy, że p jest miarą na a-ciełe «Sf(Rⁿ) zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a. Jeśli g(A) = p(x + A) dla wszystkich A e Jźf(Rⁿ), x e Rⁿ i ponadto p(P) jest skończona i dodatnia dla każdego przedziału P, to wówczas

p(A) = c • A_n(,4), A €    (4.15)

gdzie c = p([0, l]ⁿ).

W dowodzie tego twierdzenia posłużymy się dwoma lematami, które zasługują na oddzielne odnotowanie.

Lemat 4.32. Jeśli H C IR" jest podprzestrzenią afiniczną wymiaru k < n, a p miarą niezmienniczą ze względu na przesunięcia, skończoną na przedziałach i określoną na pewnym a-ciele, zawierającym Sd(Rⁿ), to p(H) = 0.

Lemat 4.33. Niech fl C Rⁿ będzie zbiorem otwartym. Oznaczmy przez &_m, gdzie m = 0,1,2,..., rodzinę wszystkich kostek w R" o krawędziach długości l/2^m i wszystkich wierzchołkach w punktach k/2^m, gdzie k € Z. Istnieje wtedy przeliczalna rodzina {Qi}iei kostek z U U U ..., o wnętrzach parami rozłącznych, taka, że

n = U «<■

iei

Uwaga. Rodzinę 3*o U^iU 3*2 U ... nazywa się czasem kostkami diadycznymi. Kostki z 3*_m+i (inaczej: tzw. kostki (m+\)-szejgeneracji) powstają z kostek rodziny    tj. kostek

m-tej generacji, przez podział wszystkich krawędzi na dwie równe części (jedna kostka z jest wtedy dzielona na 2ⁿ kostek z 3*_m+i, mających parami rozłączne wnętrza).