9414912650

95

© MIM UW, 2011/12

pierwsza i trzecia równość zachodzą, gdyż miary £ i A_n znikają na podprzestrzeniach afinicznych wymiaru mniejszego niż n.

Krok 3. Miary £ i \_n pokrywają się na zbiorach ograniczonych typu G,5. Jeśli zbiór G jest ograniczony i typu Gs, to G = H^i gdzie Clj są zbiorami otwartymi, ograniczonymi. Dlatego, wobec Stwierdzenia 4.9 (iii),

£(G) = lim - lim A_n(D_?) = A_n(G). j~* 00    j-¥ 00

Krok 4. Miary £ i \_n pokrywają się na zbiorach ograniczonych miary Lebesgue’a zero. Istotnie, jeśli A_n(Z) = O, to na mocy Twierdzenia 4.26 istnieje G ograniczony i typu Gs taki, że Z C G i A_n(G) = 0. Wtedy jednak £(G) = O, więc O < £(Z) < £(G) = 0.

Krok 5. Miary £ i X_n pokrywają się na zbiorach ograniczonych, mierzalnych w sensie Le-besgue’a. To wynika natychmiast z Twierdzenia 4.26: wynika zeń łatwo, że każdy zbiór mierzalny i ograniczony jest sumą pewnego zbioru ograniczonego typu Gs i rozłącznego z nim zbioru miary zero.

Ponieważ każdy zbiór A G Jśf (Rⁿ) jest sumą wstępującego ciągu zbiorów mierzalnych i ograniczonych (można np. wziąć Aj = A fi B(0,j)), więc na mocy Stwierdzenia 4.9 (ii) miary £ i A_n są równe na całym <r-ciele    □

Omówimy teraz pewną charakteryzację wyznacznika macierzy, która pozwoli nam podać wzór na miarę Lebesgue’a liniowego obrazu zbioru mierzalnego.

Lemat 4.34. Załóżmy, że funkcja c: GL(n, M) —> R+ ma dwie własności: c(s ■ Id) = |s|ⁿ dla każdej liczby s S R, s / O i c(AB) — c(A)c(B) dla wszystkich macierzy A,Be GL(n, R). Wówczas

c(A) — | det A\ dla wszystkich A G GL(n, R).

Dowód. Oznaczmy przez Aj macierz, która poza przekątną ma same zera, a na przekątnej same jedynki, z wyjątkiem j-tego miejsca, gdzie znajduje się liczba —1. Mamy A? = Id i dla każdej liczby s G R \ {0} jest

\s\²’‘ = c^-A]) = (c(s-Aj))².

Ponieważ c(A) > 0 dla każdej nieosobliwej macierzy A, więc c(s • Aj) — |s|ⁿ.

Niech teraz, dla 1 < k l < n, Sm oznacza macierz kwadratową, złożoną z samych zer, za wyjątkiem jedynki w fc-tym wierszu i l-tej kolumnie. Połóżmy M^(s) = Id + sS^. Nietrudno sprawdzić (Czytelnik zechce uzupełnić szczegóły), że zachodzą równości 5ki ■

A-k - Ski - -A_k • 6_kt. Dlatego

A_k ■ 6_kl ■ A_k = -6_ki,

stąd zaś A_k ■ M_ki(s) ■ A_k — M_ki(—s) i wobec równości c(A_k) = 1 jest

c(M_ki(-s)) = c{A_k)² c(M_ki(sj) = c(M_ki{$)).    (4.16)

Jednak

M_H(s)M_kl(-a) = (Id + sS_u)(Id - s8_kl) = Id - s² • 8l = Id