9414912659

85

© MIM UW, 2011/12

Krok 3: jeśli A, B €    to A U B e Aby to wykazać, piszemy = AU(B\A) oraz

ZD(AUB) = (Z DA) U ((Z\A)nB),    (4.4)

Z\(Al>B) = (Z\A)\B,    (4.5)

następnie zaś szacujemy, korzystając z podaddytywności /z*,

H*(z n (A U B)) + n*{Z \ (A U B))

⁽⁴<⁴⁾ n* (ZDA) + n* ((Z \ A) n£) + n* (Z \ (AU B))

⁽=^5> n’(zn A) + //((z \ A) n B) + !/((Z \A)\B) ^u= n* (z n A) + M*(Z \ A) ^<4=^3> P*(Z)

Nierówność przeciwna, fj,*{Z) < /j,*(Z fi (A U B)) + \i*{Z \ (A U B)), zachodzi na mocy podaddytywności funkcji /z*. Zatem zbiór A U B spełnia warunek Caratheodory’ego. Krok 4. Wiemy już, że & jest ciałem zbiorów. Dlatego (patrz Uwaga 4.3) iloczyn oraz różnica dwóch zbiorów spełniających warunek Caratheodory’ego też spełnia warunek Cara-theodory’ego.

Krok 5: addytywność /z* na Niech A,Be& będą zbiorami rozłącznymi. Zamieniając w warunku Carathedory’ego (4.3) zbiór Z na Z n (A U B), otrzymujemy

n*{Z n (A u B)) = n*{Z n (A u B) n A) + ix*((Z n (A u B)) \ A)

= n*(znA) + n*(znB),    (4.6)

gdyż dla A, B rozłącznych jest

Zn(AUB)nA = ZDA, (Zn(A[JB))\A = ZDB.

Dla Z = X otrzymujemy

H*(A U B) = ix*(A) + n*(B).

Przez łatwą indukcję względem m dowodzimy, że suma skończonej liczby zbiorów z & też należy do &. Ponadto, dla dowolnego Z c X zachodzi odpowiednik równości (4.6), mianowicie

/j* ( Z fi l^J Aj j — ^ fi*{Z fi Aj)    dla Ai,..., A_m € & parami rozłącznych. (4.7)

' j=i '    j=i

Krok 6: rodzina & jest o-ciałem. Wystarczy w tym celu sprawdzić, że

Aj £ J? dla Aj € j = 1,2,..., parami rozłącznych,    (4.8)

3=i

gdyż suma dowolnych zbiorów Aj e j = 1,2,..., jest równa sumie zbiorów Pi = Ai, P₂ = A₂\A_U ..., P_m = A_m\(AiU...UA_m_₁), ..., które już są parami rozłączne (i też należą do &, gdyż .9- jest ciałem).