2335501602

11

2. Grupa podstawowa

2.3 Definicja grupy podstawowej

Jeśli o € D(p,q), to przez [cr] oznaczamy klasę abstrakcji pętli cr względem relacji

Niech p € X będzie ustalonym punktem. Nazwijmy go punktem bazowym. Rozpatrzmy zbiór D(p,p), wszystkich dróg o początku i końcu w punkcie p, tzn. zbiór wszystkich pętli w punkcie p.

Definicja 2.3.1. Zbiór wszystkich klas abstrakcji postaci [er], gdzie cr 6 D(p,p), oznaczamy przez 7ri (X, p) i nazywamy grupą podstawową (lub grupą homotopii) przestrzeni X w punkcie p.

Mnożenie w ni(X,p) jest określone wzorem

Z faktów podanych w poprzednim podrozdziale wynika, że mnożenie to jest dobrze określone oraz, że zbiór 7Ti (X, p) wraz z tym mnożeniem jest grupą. Elementem neutralnym jest klasa abstrakcji pętli stałej. Elementem odwrotnym do [cr] jest [</], gdzie cr' jest pętlą w punkcie p, odwrotną do pętli cr, tzn. [oj^-1 =

Łatwo udowodnić:

Stwierdzenie 2.3.2. Niech p,q £ X i niech r G D(p,q). Odwzorowanie

n₁(X,q) —> 7_ri(X,p), [cr] ~ [tMt]"¹,

jest izomorfizmem grup. El

Mówimy, że przestrzeń topologiczna X jest łukowo spójna, jeśli dla dowolnych punktów p,q € X istnieje droga r należąca do D(p,q). Z powyższego stwierdzenia wynika:

Wniosek 2.3.3. Jeśli przestrzeń X jest łukowo spójna i p G X, to grupa podstawowa n\{X,p) nie zależy od wyboru punktu p, tzn. dla dowolnych punktów p,q G X, grupy (X, p) i m (X, q) są izomorficzne. KI

Jeśli X jest przestrzenią łukowo spójną, to jej grupę podstawową iri(X,p) (gdzie p G X) oznacza się krótko przez %i(X).

Zanotujmy kilka własności przestrzeni łukowo spójnych.

Stwierdzenie 2.3.4.

(1)    Obraz ciągły przestrzeni łukowo spójnej jest przestrzenią łukowo spójną.

(2)    Przestrzeń łukowo spójna jest spójna (stwierdzenie odwrotne na ogół nie zachodzi).

(3)    Każdy niepusty spójny zbiór otwarty w Rⁿ jest łukowo spójny. KI

Grupa podstawowa ma charakter funktorialny. Przez kategorię przestrzeni topologicznych z wyróżnionym punktem rozumiemy kategorię, której obiektami są pary (X, p) (gdzie X jest przestrzenią topologiczną i p G X), a morfizmami z (X,p) do (Y, q) są odwzorowania ciągłe / : X —> Y takie, że f(p) = q. Jeśli / : X —* Y jest odwzorowaniem ciągłym, to definiujemy homomorfizm indukowany:

/»:7Ti(X,p)—►TTi(Y,f(p)),    [cr] I—► [/ocr]

Łatwo sprawdza się, że /* jest homomorfizmem grup. Ponadto, (/ o g), = /» o g_t, (lx)* = id. Mamy zatem:

Wniosek 2.3.5. 7Ti jest funktorem kowariantnym z kategorii przestrzeni topologicznych z wyróżnionym punktem do kategorii grup. K