2335501600

2. Grupa podstawowa

2 Grupa podstawowa

Pojęcie grupy podstawowej przestrzeni topologicznej zdefiniował H. Poincare w 1904 roku, kiedy przekonał sią, że odkryte przez niego wcześniej funktory homologii, które dały klasyfikację powierzchni, nie wystarczają już do scharakteryzowania 3-wymiarowej sfery S³. Pytanie, czy funktory homologii wespół z grupą podstawową wystarczają, jest do dziś otwartym zagadnieniem Poincarego ([6]8).

Wprowadzenie do teorii homotopii i grupy podstawowej znajdziemy w [6]8, [9]49, [12] 14, [16] 175.

W tym rozdziale zakładamy, że X jest przestrzenią topologiczną. Przez I oznaczamy domknięty odcinek [0,1] C R.

2.1 Drogi

Każde przekształcenie ciągłe cr: I —► X nazywamy drogą w X. Punkt <r(0) nazywamy początkiem drogi cr, a punkt cr(l) jej końcem. Mówimy, że droga a : I —> X jest zamknięta jeśli początek pokrywa się z końcem, tzn. jeśli cr(0) = <r(l). W tym przypadku mówi się również, że droga cr jest pętlą w punkcie cr(0) = cr(l). Mówimy, że droga jest stała, jeśli jej obraz jest zbiorem jednopunktowym.

Niech p,q G X. Przez D(p, q) oznaczać będziemy (chwilowo) zbiór wszystkich dróg w X o początku w punkcie p i końcu w punkcie q.

Drogi, z których jedna kończy się w początku drugiej, można składać. Załóżmy, że cr, r : / —* X są drogami w X takimi, że cr G D(p,q), r G D(q, r), gdzie p,q,r G X. Definiujemy wtedy drogę <jt G D(p,r), przyjmując:

f <r(21),    gdy 0 ^ t < \,

CXT(t) = <

[ r(2t - 1), gdy \ < t < 1.

Z każdą drogą a G D(p,q) stowarzyszona jest droga odwrotna a' G D(q,p), którą określa się wzorem

cr'{t) = <7(1 — t).

2.2 Drogi homotopijnie równoważne

Niech p,q e X będą ustalonymi punktami w X. Załóżmy, że cr, r G D{p,q). Mówimy, że drogi <7 i t są homotopijnie równoważne, co zapisujemy jako cr ~ r, jeśli istnieje odwzorowanie ciągłe F : I x I —> X takie, że:

{F(s, 0)    =    a(s)    dla    s GI,

F(s, 1)    =    t(s)    dla    sel,

F(0, t)    =    p    dla    t G I,

F(l,t)    =    q    dla    teł.

Powyższe odwzorowanie F : I X / —> X nazywa się homotopią od a do r.

Jeśli F : I x / —* X jest homotopią, od <7 do r, to (dla każdego t G I) przez Ft : I —> X oznaczamy odwzorowanie określone wzorem

F_t(s) = F{s,t), dla sel.

Każde odwzorowanie postaci F_t jest drogą należącą do D(p,q). W szczególności Fo = a, F\ = r. Stwierdzenie 2.2.1. Homotopijność ~ jest relacją typu równoważności w zbiorze D(p, q).

Dowód. Niech ct,t,ji G D(p,q).

Zwrotność. Odwzorowanie F : I x I —* X, (s,t) *-> cr(s), jest homotopią od a do a.